Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод Крамера (определителей) решения систем линейных уравнений




Правило (метод) Крамера применяется к системам, у которых число уравнений равно числу неизвестных , т.е..

2.1. Число уравнений и неизвестных

Рассмотрим систему линейных уравнений

Вычисляются определители:

, , .

1. Если , то система имеет единственное решение

.

2. Если , а хотя бы один из определителей , отличен от нуля, то система не имеет решений.

3. Если , то система имеет бесконечно много решений.

Пример 1.Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

Решение. , поэтому СЛУ имеет единственное решение.

, .

Тогда ; .

Пример 2. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений: .

Решение. Определитель системы равен нулю: , но один из вспомогательных определителей не равен нулю: , значит, СЛУ не имеет решений.

Пример 3.Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

, , .

Поэтому система имеет бесконечно много решений.

Разделив коэффициенты 2-го уравнения на 3, получим: Оставим только одно из этих уравнений: . Выразим через : , значение - любое. Это и есть ответ. Придавая различные значения, будем получать бесконечное множество частных решений. Например, при получим и первое решение . При получим и второе решение , и так далее.

 

2.2. Число уравнений и неизвестных

Рассматривается СЛУ

Вычисляются определители:

, ,

, .

1.Если , то система имеет единственное решение

, .

2.Если , а хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система не имеет решений.

3. Если , то система имеет бесконечно много решений.

 

 

Пример 4. Решить систему линейных уравнений .

Решение. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

, значит, СЛУ имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители и значения неизвестных.

Ответ: .

 

Рассмотрим пример, в котором СЛУ имеет бесконечное множество решений, и они будут найдены с применением формул Крамера.

Пример 5. Решить СЛУ.

Решение.

Вычислим определитель системы:

Заметим, что третье уравнение системы равно сумме первых двух уравнений, т.е. зависит от первых двух уравнений. Отбросив третье уравнение, получим равносильную систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Оставим в левой части системы те неизвестные, коэффициенты при которых образуют определитель, не равный нулю, например, . Неизвестное является свободным, а неизвестные и - базисными неизвестными. Запишем систему в виде и применим к ней правило Крамера:

;

- общее решение неопределенной СЛУ, где - любое действительное число.

Из общего решения можно получить частные решения, если придать свободной неизвестной какое-то конкретное значение. Например, пусть , тогда ; частное решение .



 

 





Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 1078; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 107.22.46.59
Генерация страницы за: 0.082 сек.