Другой метод нахождения ранга матрицы

ПОНЯТИЕ О РАНГЕ МАТРИЦЫ

Лекция. 3 Матричная запись и матричное решение систем уравнений 1-го порядка. Ранг матрицы.

Собственные числа и собственные векторы матрицы

Определение. Характеристическим уравнением матрицы А =

называется уравнение

Корни этого уравнения называются характеристическими числами матрицы.

Определение. Система уравнений

в которой имеет одно из значений (и определитель которой в силу этого равен 0) определяет тройку чисел (, соответствующую данному характеристическому числу, эта совокупность трёх чисел определяет вектор

, называемый собственным вектором матрицы

Пример. Дана матрица, найти её характеристические числа и собственные векторы.

Решение. Составляем характеристическое уравнение = 0.

1). подставляем в систему эта система имеет бесчисленное множество решений, полагаем, тогда и собственный вектор.

Аналогично.

2). ,,.

Пусть дана система алгебраических уравнений

Коротко эту систему можно записать в тензорном виде:

, i = 1 m. (2)

Обозначим:

A =; X =; B =,

тогда

A∙X = ∙ = =. (3)

Такая запись (3) системы называется матричной формой.

AX = Bоператорная форма (4)

Обе части равенства (4) умножим слева на обратную матрицу

A X = B, получим E X = X, но E X = X, поэтому

-матричное решение системы (1).

Пример. Матричным методом решить систему:

Решение. Решение будем находить в виде X =, для этого найдём обратную матрицу для матрицы А, составленную из коэффициентов при неизвестных

А, X =, B =.

Матрица найдена в предыдущем примере:

=

X = = =

Ответ:.

Пусть имеем матрицу из m строк и n столбцов Определение. Минором k-го порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, получающийся из данной матрицы выделением произвольных k строк и k столбцов.

Например:

А = - минор 3-го порядка.

= - минор 2-го порядка.

Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля её миноров.

Обозначается: rang A = 3 или

Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка чем r равен нулю.

Пример. Найти rang матрицы. A =. Начинаем искать миноры не равные нулю с наибольшего порядка. =; = 7 0.

Делаем вывод, что, так как минор 3-го порядка отличен от нуля.

Этот метод нахождения ранга матрицы достаточно трудоёмкий, так как

приходится вычислять много определителей.

Определение. Элементарными называются следующие преобразования:

1). Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

2). Прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

3). Перемена местами строк (столбцов) матрицы.

4). Отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

Матрицы, получаемые одна из другой при элементарных преобразованиях, называются эквивалентными.

Эквивалентные матрицы не равны друг другу, но ранги их равны.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.

Пример. Вычислить ранг матрицы А.

A =

, rang(A) = 2.

Вывод. Ранг матрицы равен числу единиц, стоящих по диагонали матрицы, если все остальные элементы нули.

Дата добавления: 2014-01-15