ЛЕКЦИЯ 7. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение

Деление отрезка в данном отношении

Условия коллинеарности двух векторов

ЛЕКЦИЯ 6. Длина вектора. Направляющие косинусы.

Декартова система координат (д.с.к.)

Определение. Аффинный базис { O, }, у которого векторы лежат на взаимно ортогональных осях и длины равны единицы, называется декартовым ортогональным базисом, принято обозначать { 0, }.

В силу теоремы о разложении вектора в базисе для д.с.к.

X,Y,Z – координаты вектора, – орты.

Теорема. Декартовы прямоугольные координаты X,Y,Z вектора равны ортогональным проекциям этого вектора на оси OX, OY, OZ соответственно.

Доказательство. Сделаем рисунок

Z

M = +

_xOM;

k _y OM;

o j y _z OM;

i по построению.

P

x 24

;;, так как коллинеарны.

_xOM = ^° =; _y OM=

_z OM = ч. т. д.

Определение. Проекции вектора на оси координат называются декартовыми прямоугольными координатами вектора.

ТеоремаЛинейные операции над векторами сводятся к точно таким же линейным операциям над их одноимёнными координатами.

Пример. Найти координаты вектора, если;

Решение. По теореме x_c=1+3 =1; y_c =2+3 -13; z_c = 3+3 3= 12

Ответ. = {1, -13, 12}.

Определение. Радиус вектор – это вектор, соединяющий начало координат и точку А, обозначается = { X,Y,Z}.

Пусть вектор, так как он является диагональю параллелограмма, то по теореме из школы ² = ² = ² = ² или ² = X² +Y² +Z² отсюда

(1)

Рассмотрим вектор; точки А(и В (

z A

B;; ={ },

^k так как и - проекции, то

x i j y = {, a модуль вектора

Обозначим углы наклона вектора c осями координат ox,oy,oz соответственно.

Определение. Косинусы углов, образованных между вектором и осями координат, называются направляющими косинусами вектора

z Если вектор ={ x,y,z}, то x =;

y=; z =, как проекции,отсюда

x o y, или

=; =; = (1)

Возведём в квадрат обе части равенств (1) и сложим, получим

co + co +co = + + = 1.

условие того, что углы вектора с осями координат.

Пусть вектор коллинеарен вектору, тогда по теореме () имеем =, =, из этих равенств находим, то есть;; =, приравниваем левые части этих равенств условие коллинеарности векторов.

Правило. Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

Определение. Единичный вектор, направленный по вектору, называется его ортом и обозначается

Пример. Найти орт вектора

Решение. Найдём модуль вектора, тогда орт вектора запишется = {}.

Определение. Разделить отрезок в данном отношении это значит найти на данном отрезке такую точку М, что имеет место равенство или М₁М.

Пусть даны точки и, найдём координаты точки М (x, y, z), делящей отрезок ₂ в отношении.

Z М₁ М = { x - x₁, y – y₁, z – z₁ };

M₂ = { x₂ – x, y₂ – y, z₂ – z }.

x o y по теореме () в координатах

x – x₁ = (x₂ – x) x (1+)= x₂ +x₁ x = y – y₁ = (y₂ – y) y (1+) = y₂ + y₁ y =

z – z₁ = (z₂ – z) z (1+) = z₂ + z₁ z =

Если точка М середина отрезка, то М₁ М = М М₂ и = 1, тогда

X_cp. =, Y_cp. =, Z_cp. =.

Если < 0, то точка М лежит вне отрезка М₁ М₂.

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается (=

Дата добавления: 2014-01-15