Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Аналитическая геометрия




Задачи

Условие компланарности векторов

Координатная форма смешанного произведения

Cвойства смешанного произведения

Cмешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением 3-х векторов, называется скалярное произведение вектора [ на вектор, ([.

Обозначается: (или (

 

 

1). ([ = (;

2). (= - (= (= - (= +(;

3). (α,.

Доказательство этих свойств следует из свойств определителей, что мы и увидим в дальнейшем.

Геометрический смысл смешанного произведения (

 

= [

S. По определению ([ =

h = = S =

={h = } = S = V.

Угол может быть < и >, то есть < 0 или >0, поэтому

Вывод: Смешанное произведение векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах сомножителях.

 

Пусть вектор = { X1, Y1 Z1 }; вектор = { X2,Y2 ,Z2 }; вектор = {X3 ,Y3 , Z3 }.

[ ] = = - +. Известно, что скалярное произведение - это произведение одноимённых координат, поэтому

(X3 - Y3 + Z3 , c другой стороны - это разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

 

= ((

Используя формулу (, можно доказать все свойства (1,2,3) смешанного произведения.

Пример. Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках: О (0,0,0); А(5,2,0); В (2, 5, 0); С (1,2,4).

Решение. Объём пирамиды равен объёма параллелепипеда, то есть = Vпир. = Vпар. =, = = ( 100 -16) = 84 куб.ед.

Ответ: Vпир. = 84 куб. ед.

 

 

Теорема. Необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство необходимости. Пусть компланарны, значит построить параллелепипед на них нельзя, то есть объём равен нулю V=0, а это значит и =0 ч.т.д.

Доказательство достаточности. Пусть ( = 0 это значит, что V=0 и векторы лежат в одной плоскости, то есть компланарны ч.т.д.

Вывод: Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения = 0

Пример. Проверить лежат ли четыре точки в одной плоскости. А (2,-1,1); В(5,5,4); С(3,2,-1); Д(4,1,3).

Решение. Надо проверить лежат ли 3 вектора в одной плоскости, для этого найдём координаты этих векторов {3,6,3}; { 1,3,-2};

(= 18 -24 +6 -18-12+ 12= 18. Вывод. Эти точки

не лежат в одной плоскости.

Определение. Двойным векторным произведением векторов называется векторное произведение [ или [.

Задача 1. Какому условию должны удовлетворять векторы, чтобы вектор делил пополам угол между векторами

Задача 2. Точка 0 является центром тяжести треугольника АВС. Доказать, что

.

Задача 3. Найти сумму и разность векторов и, если;

Задача 4. Дан вектор; Угол между векторами равен 600. Найти =?

Задача 5. Даны 3 вектора, Определить разложение вектора по базису.

 

Лекция 9. Основные понятия. Различные виды уравнения прямой на плоскости.

Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов при помощи аналитического метода. В основе этого метода лежит метод координат, впервые применённый Декартом (великий французский математик и философ 1596-1650). Начальные (основные) понятия аналитической геометрии – точка, прямая линия, плоскость, поверхность.

 

Понятие об уравнении линии.

 

Определение. Линия L – это геометрическое множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

Ф(x,y) = 0 или (1)

F(x,y) = 0.

Для более удобного построения линий L, часто вводят вспомогательную переменную или параметр t.

(2)

Исключив из (2) параметр t, перейдём к (1).

Пример. Получить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r.

Решение. Сделаем рисунок.

 

 

y

t
r Из рисунка видно

oo t x 0 t

 


Эти уравнения (3) и есть параметрические уравнения окружности. Обе части уравнений (3) возведём в квадрат и сложим. уравнение окружности с центром в точке О(0,0) и радиусом r.

Можно вывести уравнение циклоиды – это линия, которую описывает точка М на окружности, если окружность без скольжения движется по прямой.

y

 

0 x

 

 

 

Определение. Линия называется алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она определяется уравнением Ф(x,y)=0, где Ф(x,y) – алгебраический полином – многочлен.

Определение. Алгебраическая линия называется порядка n, если Ф(x,y) многочлен n-ой степени.

Ф(x,y)= Аx+By+C=0 1-ой степени

Ф(x,y)= A 2-ой степени

Ф(x,y)= A 3-й степени.

Определение. Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.

 

УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

Определение. Уравнение Ф(x,y,z)=0 называется уравнением поверхности S

относительно д.с.к., если этому уравнению удовлетворяют координаты x,y,z, любой точки, лежащей на поверхности S.

c
Например: z...M

x y М(x,y,z); С(a,b,c) МС =r= или

- это уравнение сферической поверхности

Определение. Линию в рассматривают, как пересечение 2-х поверхностей.

 

 

 

РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

 

Общее уравнение прямой.

y N

M.

M1 =.

0 x (∙)=0 или

A(x-, раскроем скобки

Ax + By +(-A, обозначим

(-Аx-By)=C,получим - общее уравнение прямой.

 

Неполные уравнения прямой.

 

1). С=0, Ax+By=0 - прямая проходит через начало координат.

2). B=0, Ax+C =0 - прямая параллельна оси оy.

3). A=0, By+C =0 - прямая параллельна оси ox.

4). B=C=0, Ax=0, x=0 - ось oy.

5). А=С=0, Вy =0, y=0 - ось оx.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 637; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.