Производные функций , заданных параметрически

Механический смысл производной второго порядка

Производные высших порядков

Неявные функции и их дифференцирование

Лекция 23. Неявные функции и их дифференцирование. Производные высших порядков.

Примеры.

Примеры.

Производная обратной функции

4.

Основные правила дифференцирования

1. [ c, c=const.

2. [u(x).

Доказательство. Дадим x приращение, y. Составим очевидное тождество, перейдём к пределу = =, поэтому = = y’_u =, воспользуемся формулой, получим.

4. y = – логарифмическая функция.

).

(, если, то

8. y = tg x;

Пусть y = f(x) и x = - 2 непрерывные взаимно обратные функции. Пусть известно f ’(x) = Чтобы найти, окончательно или

1. y =, обратная функция x = sin y в (;

2. Аналогично ,;

.

U = u(x)

1. (С)’ = 0. 11. (.

2. (12. (

3. (. 13. (arcsin u)’ =.

5. (15. (arctg u)’ =.

7. (sin u)’ = cos u.

8. (cos u)’ = - sin u.

9. (tg u)’ =.

10. (ctg u)’ =-.

1. Найти y’, если y = sin x³.

Решение. Воспользуемся формулой 7 из таблицы: (sin x³)’ = cos x³

= Ответ: ()’ =

Определение. Функция y, заданная уравнением F (x,y) = 0 называется неявной, то есть неявная функция задаётся уравнением, связывающим независимую переменную x с функцией y, неразрешённым относительно y.

Правило. Чтобы найти производную от неявной функции, нужно дифференцировать по x обе части уравнения с учётом, что y зависит от x по правилам дифференцирования сложной функции.

Пример. Найти y’, если функция y задана уравнением: xy² =.

Решение. (xy²)’=(y² + 2xyy’ =.

Доказательство. Прологарифмируем функцию y, затем дифференцируем последнее равенство по правилу дифференцирования неявной функции (→ ч.т.д.

Пример1. Найти y’, если y = (sin x

Логарифмируем обе части равенства, дифференцируем y’ = y[ ]

Ответ. Y’ = [ ].

Приём для нахождения производной с применением логарифмирования называется логарифмическим дифференцированием, а выражение - логарифмической производной.

Так как f’(x) есть функция, то её можно снова дифференцировать.

Определение. Производная от 1-ой производной функции называется производной 2-го порядка.

Определение. Производной n-го порядка функции y = f(x) называется первая производная от производной (n-1) – го порядка. Обозначается: y⁽ⁿ⁾, f⁽ⁿ⁾,

F⁽ⁿ⁾(x) = [ f^(n-1)(x)]’.

Пример. Найти производную - четвёртого порядка для функции y =.

Решение. Сначала найдём y’.

Y’ =, y’’ = (= =; y’’’’ =(, выражаем отсюда y’, y’= ещё раз дифференцируем y’’ = = =

=.

Другой способ. Первый раз дифференцируем уравнение, задающее функцию,

получаем 1 =, отсюда выражаем y’’. Y’’ = - (1+y’, подставляем значение для y’, y’’ = - (1 + = - (= -

Пусть s = f(t) – путь, пройденный материальной точкой за время t, v = v(t) – скорость за это время, точке t + соответствует скорость v₁(t+,

, ускорение

Определение. Ускорением за время t называется предел среднего ускорения при

Вывод. Ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.

Пусть, а имеют производные, причём t =, тогда y= сложная функция, поэтому y’_x = _x, на основании теоремы о дифференцировании обратной функции запишем подставим в y’_x = =.,

Пример. Найти вторую производную от функции y, заданную параметрически

x = si; y = sin 2t

Решение. Найдём сначала y’_x. y’_x = =; y’’_xx = по теореме (о пределе функции, имеем

, f’(x) поэтому f’(x) - б.м. 1-го порядка малости относительно. Проверим, какого порядка малости Найдём =, то есть более высокого порядка малости, чем. 1- е слагаемое f’(x) называется главной частью приращения функции.

Определение. Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции, линейная относительно

Обозначается рабочая формула.

Пример. Найти дифференциал функции y =.

Решение. f’(x) =, dy = dx.

Приближённые вычисления с помощью дифференциала функции

Запишем приращение функции y = f(x), так как последнее слагаемое более высокого порядка, то его отбросим и получим или

F (x₀ + - формула для приближённого вычисления с помощью дифференциала функции.

Пример. Вычислить sin 46⁰.

Решение. Пусть f(x) = sin x; f’(x) = cos x;sin(x+

Примемx₀ + = 46⁰; x₀ =, тогда ⁰ =

Sin46⁰ = sin (=.

Ответ. Sin46⁰.

Дата добавления: 2014-01-15