Алгебра висловлень (Буля)

Концепция проектирования Родченко- нужно научиться в простейшей обыденной вещи проявить творческий подход, найти оригинальное но рациональное решение конструкции и формы, для многократного тиражирования в промышленности.

Дизайнерская сторона деятельности направлена на поиск оригинальной,

функционально и технически оправданной конструкции.

Выставка в Париже в 1925 году, Мельникова, Рабочий клуб Родченко интерьер нового типа здания, книжный киоск студенческий проект, кресло кровать, умывальник, агиттрибуна, трамвайный указатель и др. с другой новые методы преподавания, проектирования, и мышления.

Висловленням в українській мові називають оповідальне речення, про яке можна сказати, що воно або хибне, або істинне.

Примеры????

Поставимо кожному висловленню числове значення, за таким правилом: якщо висловлення істинне, то йому відповідає 1, якщо - хибне то - 0.

Розглянемо означення операцій, що входять до сигнатури.

Операції визначатимемо за допомогою так званих таблиць істинності, які визначають істинність або хибність новоутвореного висловлення

Означення 20. Заперечення – унарна операція. Нехай А – висловлення, то його заперечення позначається і визначається таблицею істинності:

Висловлення істинне тоді і тільки тоді, коли А є хибним, читається “не А ”.

Означення 21. Кон’юнкція – бінарна операція. Позначається . Визначається таблицею істинності:

А	В	А Ù В

Висловлення А Ù В – істинне лише тоді і тільки тоді, коли А і В – істинні, читається “Аі В”.

Означення 22. Диз’юнкція бінарна операція. Позначається через . Визначається таблицею істинності:

А	В

Висловлення хибне тоді і лише тоді, коли А і В хибні, читається “Аабо В”.

Розглянемо алгебру В =, де носій алгебри – множина всіх висловлень, сигнатура складається з операцій кон’юнкції, диз’юнкції та заперечення.

Теорема 2. Алгебра В =,висловлень є булевою алгеброю.

Доведення. Необхідно довести, що сигнатура алгебри В =,підкоряється наступним законам:

1), , , ;

2) комутативність: , ;

3) ассоціативність: , ;

4) дистрибутивність:

, ;

5) ідемпотентність: ;

6) закон поглинання , ;

7) закон протиріччя: ;

8) закон виключеного третього ;

9) закони де Моргана ;

10) .

З наведених рівностей випливає. Що алгебра має структурні нуль та одиницю, відносно кожної з операцій диз’юнкції та кон’юнкції утворює ідемпотентні абелеві напівтрупи, дистрибутивна і має доповнення (заперечення), а отже є булавою алгеброю.

Для прикладу розглянемо доведення дистрибутивності операції диз’юнкції. Доведення полягає в побудові та порівнянні таблиць істинності для лівої та правої частин рівності, що розглядається.

А	В	С

Теорему доведено.

Можна показати, що сигнатура алгебри висловлень підкоряється законам склеювання , .

В алгебрі висловлень важливу роль відіграють і інші операції.

Означення 23. Імплікація - бінарна операція. Позначається . Визначається таблицею істинності:

А	В

Висловлення хибне, тоді і лише тоді, коли А – істинне, а В – хибне, читається “якщо А, то В ”, де А – умова, а В – висновок.

Для операції імплікації мають місце такі закони:

1) закон контра позиції: ;

2) закон силогізму: .

Означення 24. Еквівалентність - бінарна операція. Позначається (або ). Визначається таблицею істинності:

А	В

Висловлення істинне, тоді і лише тоді, коли А і В – істинні, або А і В – хибні,, читається “ А тоді і тільки тоді, коли В ”. можна визначити еквівалентність так: .

Означення 25. Логічне додавання - бінарна операція. Позначається . Визначається таблицею істинності:

А	В

Висловлення хибне, тоді і лише тоді, коли А і В – істинні, або А і В – хибні, тобто має місце рівність , яка означає, що логічне додавання є запереченням еквівалентності.

Для операції логічного додавання виконуються такі закони:

1. .

2. Комутативність .

3. Асоціативність .

4. Дистрибутивність відносно кон’юнкції .

Означення 26. Штрих Шефера - бінарна операція. Позначається . Визначається таблицею істинності:

A	B

Висловлення істинне, тоді і лише тоді, коли хоча б одне з висловлень А і Вхибне, тобто має місце рівність , яка означає, що операція штрих Шефера є запереченням операції кон’юнкції.

Означення 27. Стрілка Пірса або функція Вебба - бінарна операція. Позначається . Визначається таблицею істинності:

A	B

Висловлення істинне, тоді і лише тоді, коли А і В – хибні, тобто має місце рівність , яка означає, що операція стрілка Пірса є запереченням операції диз’юнкції.

Можна навести означення структури, що є еквівалентним означенню 13.

Означення 28. Структурою називається впорядкована множина á М, £ñ, довільні два елементи т_i та т_j, якої мають найбільшу ниж­ню межу , та найменшу верхню межу .

Доведення еквівалентності означень 13 та 28 можна знайти, наприклад, в книзі (Горбатов В.А. Основы дискретной математики. -М.: Высш. Школа, 1986). Продумать как лучше сделать ссылку

В алгебрі Кантора можна ввести частковий порядок наступним чином означає, що , або . Визначений таким чином частковий порядок співпадає з частковим порядком, який породжується відношенням вкладення множин, тобто , при цьому =і =.

Аналогічно в алгебрі висловлень можна ввести частковий порядок наступним чином означає, що , або , при цьому =і =.

Дата добавления: 2014-01-15