Основные дифференциальные уравнения математической физики

Классификация дифференциальных уравнений с частными производными

Многие задачи механики сплошных сред, электродинамики, квантовой механики приводят к исследованию и решению дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн мы приходим к волновому уравнению вида:

. (1)

Где а – скорость распространения волны в данной среде; u – неизвестная функция; x, y, z – декартовы переменные.

Для краткости часто используют обозначения для производных:

, , и т.д.

В таких обозначениях уравнение (1) примет вид

.

Процессы распространения тепла в однородной изотропной среде, так же как и явление диффузии, описываются уравнением теплопроводности

(2)

При рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле приходим к уравнению Пуассона:

(3)

При отсутствии источников тепа внутри тела уравнение (3) переходит в уравнение Лапласа:

(4)

Потенциал поля тяготения и стационарного электрического поля также удовлетворяют уравнению Лапласа в тех точках пространства, где отсутствуют масса и электрические заряды.

Уравнения (1) – (4) часто называют основными уравнениями физики. Их изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач. Каждое из уравнений (1) – (4) имеет бесконечное множество частных решений. При решении конкретной физической задачи необходимо из всех решений выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительным условиям из её физического смысла. Такими дополнительными условиями чаще всего является граничные и начальные условия.

Задача математической физики считается корректно поставленной, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво. Устойчивость означает, что малые изменения любого из данных задачи должны вызывать соответственно малое изменение решение.

Дата добавления: 2014-01-15