Неоднородные уравнения колебаний

, (1)

Наличие функции определяет, что есть вынужденные колебания, отсутствие– свободные колебания.

, , (2)

Однородные граничные условия:

, , (3)

Фактически это первая краевая задача. Решение будем искать с помощью разложения в ряд Фурье

(4)

Здесь граничные условия выполняются автоматически. Поэтому t рассматривают как параметр.

Найдем .

Разлагаем в ряд синуса:

(5)

(6)

(7)

(5), (6), (7) подставляем в (1):

(8)

Так как справа нуль, то все коэффициенты, стоящие в фигурных скобках, равны нулю.

Следовательно, выполняется соотношение:

, n=1,2… (9)

Получим систему неоднородных уравнений. Исходя из уравнения (4),получим:

Сравнивая два ряда, мы получаем что

(10)

Данные условия (10) полностью удовлетворяют уравнение решения (9).

(11)

Уравнение (9) будем решать методом вариации постоянных решений однородных уравнений.

- частота собственных колебаний.

(12)

;

(13)

Будем искать решение (9) в виде уравнение (13). Потребуем чтобы это решение было решением уравнения (9).

Данное уравнение называется условием метода вариации производных.

Подставляем в соответствие с уравнением (9), получаем:

(14)

(15)

Вернемся к формуле (13) учитывая найденные .

(16)

Данная формула определяет решение однородного уравнения.

Получили общее решение.

Дата добавления: 2014-01-15