Противоположные события

Полная группа событий

Теорема сложения вероятностей

Действия с вероятностями

Суммой двух событий А и В называют событие А+В, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

В частности, если два события А и В – несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий.

Пусть события А и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А +В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А₁ + А₂ +…+ А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + …+ Р(А_n).

Пример 7. В корзине 30 шаров: 10 красных, 8 синих, 7 зелёных и 5 белых. Случайным образом вын6имают 1 шар. Найти вероятность, что он будет синим или зелёным.

Решение: Обозначим событие А – это появление синего шара, В – появление зелёного шара. Тогда Р(А) = 8/30, Р(В) = 7/30. События А и В несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность:

Р(А+В) = 8/30 + 7/30 = 15/30 = 1/2.

Теорема. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …, А_n, образующих полную группу, равна единице: Р(А₁) + Р(А₂) +…+ Р(А_n) = 1.

Пример 8. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В – 0,2. Найти вероятность, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение: События «пакет получен из города А», «пакет получен из В», «пакет получен из С» образуют полную группу. Поэтому 0,7 + 0,2 + Р(С) = 1. Отсюда искомая вероятность Р(С) = 1 – 0,7 – 0,2 = 0,1.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Противоположные события принято обозначать А и .

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А)+Р() = 1.

Пример 9. Вероятность, что день будет дождливым равна 0,7. Найти вероятность, что дождя не будет.

Решение: События «дождь будет» (А) и «дождя не будет» () являются противоположными. Поэтому вероятность, что дождя не будет: Р() = 1 – 0,7 = 0,3.

Замечание. При решении задач на нахождение вероятности события А часто сначала выгодно вычислить вероятность , а затем найти вероятность А по формуле Р(А) = 1 – Р().

Дата добавления: 2014-01-15