Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними

Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального рівняння.

Частинному інтегралу відповідає одна крива цього

сімейства, яка проходить через деяку задану точку площини.

Розглянемо диференціальне рівняння виду:

, (3)

де права частина є добуток функції, що залежить тільки від на функцію, що залежить тільки від . Перетворимо його наступним чином (припустимо, що ):

. (3').

Вважаючи відомою функцією від , рівність (3') можна розглядати як рівність двох диференціалів, а невизначені інтеграли від них будуть відрізнятися сталим доданком. Інтегруючи ліву частину по , а праву по , знайдемо

. (3'')

Отримали загальний інтеграл рівняння (3).

Диференціальне рівняння типу (3')

(4)

називається рівнянням з відокремленими змінними.

Загальний інтеграл його є

.

Рівняння виду:

(5)

називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

Воно може бути приведене до рівняння з відокремленими змінними шляхом ділення обох його частин на вираз

,

або

.

Приклад. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння з відокремлюваними змінними:

.

Дата добавления: 2014-01-11