Матеріальне забезпечення

Л2 стор. 64-84

Тема №5: АНАЛІЗ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ ЧАСОВИМ МЕТОДОМ

ЛЕКЦІЯ №25

З навчальної дисципліни ______ ОТКС ______________________________

Тема №5 __ Аналіз перехідних процесів часовими методами ___________

Заняття №25 Часові характеристики електричних кіл та зв’язок між ними.____

Обговорено на засіданні кафедри №5

“ ___” ________________ 2005 року

Протокол № ___________

Житомир

Заняття №2: ЧАСОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ ТА ЗВ’ЯЗОК МІЖ НИМИ.

Навчальна мета: вивчити типові функції діяння, часові характеристики кіл і методику їх визначення.

Виховна мета: показати роль та значення часових методів аналізу в формування у майбутніх офіцерів професійних якостей радіоінженера..

Навчальні питання:

1. Типові функції діяння (одинична функція, дельта-функція).

2. Часові характеристики електричного кола (перехідна та імпульсна)

3. Методика визначення часових характеристик..

Час: 2 години

ЛІТЕРАТУРА

1. ЛЕКТОР-2000, слайди за темою.

2. Установка для демонстрації перехідних характеристик кіл RC та RL.

ВСТУП

На попередніх заняттях ми займалися класичним метедом аналізу кіл – часовим. Крім класичного є ще один різновид часового методу – метод накладання. Розраховуючи відгуки кіл методом накладання, використовують часові характеристики: перехідну та імпульсну.

На данному занятті вивчемо методику отримання часових характеристик, особливості їх використання. Для отримання часових характеристик скористаємось двома типовими діяннями: одиничною та дельта – функцією.

Дельта – функція є ідеалізованим, наближеним уявленням імпульсних сигналів, тривалість яких мала в порівнянні з t кола.

Вводять ці функції на основі індуктивних фізичних та абстрактних уявлень без глибокого математичного обгрунтування.

Часові характеристики кіл, крім використання для розрахунку кіл за допомогою інтеграла накладання, мають і самостійне значення. Так, в радіоелектроніці вони знаходять широке використання при аналізі умов оптимальної фільтрації сигналів в різноманітних колах. Крім того, часові характеристики, як і частотні, описують якості самих кіл, тому між ними існує досить визначений зв’язок. Наявність цього зв’язка дозволяє за відомими характеристиками визначити частотні та навпаки, тому при експлуатації матеріальної частини, зокрема, при виконанні РР, визначається перехідна характеристика окремих ланок і кіл замкненої системи, і за ними визначаються необхідні частотні характеристики.

1. ТИПОВІ ФУНКЦІЇ ДІЯННЯ.

Відгук електричного кола x(t) залежить від діяння, властивостей кола та початкових умов, що було показано в минулих лекціях. З метою порівняння електричних кіл (систем) діяння приймаються типовим, а початкові умови - нульовими.

Використовуючи такі типові діяння визначається вплив різних електричних кіл на такі діяння шляхом визначення відгуків кіл на ці діяння. Це і дає змогу аналізувати властивості кіл і порівнювати їх.

Застосування типових діянь, крім того, зумовлено тим, що коли відома реакція кола на типове діяння, то можна визначити реакцію кола на довільне діяння, без розділення рішення на вільну та примусову складові.

З курсу математики відомі типові функції діяння, їх визначення, графічні та аналітичні вирази. Тому більшу увагу будемо приділяти їх фізичній суті та зв’язку між ними.

1. Одинична функція 1(t) = d(t) – це функція, яку визначають виразом:

0, при t <0.

1(t) =

1, при t ³ 0.

Електричний сигнал такого виду можна отримати на вході джерела постійного сигналу за його миттєвої комутації в момент часу t=0.

Графічне зображення одиничних функцій зображено на рис. 1 а, б, в.

Рис.1

Одинична функція може бути зміщена відносно початку координат ліворуч – випереджаючого аргументу (рис.1б), праворуч – запізнюючого аргументу (рис.1в).

Розглянемо властивості одиничної функції.

Основною властивістю одиничної функції 1(t) є її фільтрувальна, стробувальна або пінцетна властивість. ЇЇ отримують множенням бесперервної функції S(t) на одиничну функцію запізнювального аргументу 1(t-t). що перетворює її в розривну функцію

0, при t < t.

S(t)×1(t-t) =

S(t), при t ³ t.

Цю властивість одиничнї функції називають фільтрувальною та застосовують для аналітичного запису деяких функцій.

При множенні одиничної функції на постійне число 1(t)×А отримаємо сшодинкове діяння, яке називають функцією включення. Якщо А помножити на одиничну функцію запізнювального аргументу 1(t-t), то отримаємо функцію включення запізнювального аргументу (рис.2)

Рис.2

За допомогою одиничної функції можна подати велику кількість різноманітних функцій (сигналів).

Наприклад, прямокутний імпульс (рис.3) можна описати різницею двох функцій включення.

Рис.3. Прямокутний відеоімпульс

U(t) = U_m ×1(t) - U_m ×1(t-t_K)

Таким чином, будь-яку ступінчату функцію можна аналітично записати сумою одиничних функцій з різними запізнювальними аргументами. При цьому треба визначити величину сходинок, як різницю між послідуючим та попереднім значенням функцій

DS_i = S(t_і+0) - S(t_і-0) = C_К×S(t_і).

Покажемо це на прикладі складного сигналу (рис.4)

Рис. 4 Графік складного сигналу

Складна функція S(t) подана сумою ступінчатих функцій

, (1)

де DS_K = S(t+0) - S(t-0) = S(к Dt) – S[(к – 1) Dt] = S(t) – S(t-Dt).

Отриманий вираз є аналітичним записом складного сигналу за допомогою одиничних функцій.

2. Дельта-функція d(t) – це функція, яка при усіх значеннях t дорівнює нулю, крім t = 0, де вона обертається в нескінченність.

0, при t ¹ 0.

d(t) =

¥, при t = 0.

Гафічне зображення функції подано на рис. 5.

а) б) в)

Рис. 5. Графіки дельта-функції: б) – випереджена, в) – запізнювальна.

Дельта-функція має наступні властивості:

- площа, обмежена графіком дельта-функції, дорівнює одиниці (імпульс, площа якого дорівнює одиниці):

- при помноженні d(t) на постійне число А утворюється функція А×d(t) –імпульсна функція з амплітудою А.

Дельта-функція, як і одинична функція, має також фільтрувальну властивість. Ця властивість визначається рівністю:

(2)

Якщо у вираз (2) підставити дельта-функцію запізнювального аргументу, то отримаємо

.

В теорії електричних кіл важливим є згортання двох функцій (сигналів, які описуються функціями), наприклад S₁(t) i S₂(t):

Якщо однією з цих функцій взяти дельта-функцію, то відповідно до її фільтрувальної властивості згортання дає такий результат:

Отже згортання дельта-функції з будь-якою іншою функцією відтворює (поновлює) цю іншу функцію. Між одиничною та дельта-функцією існує слідуючий зв’язок:

[1(t)]¢ = d(t)

.

Це витікає з того, що.

Дельта-функція дорівнює першій похідній за часом від одиничної функції.

Фізично дельта-функцію можна подати у вигляді прямокутного імпульсу з тривалістю Dt, амплітуда якого U_m = 1/Dt (рис.6)

Рис.6. Прямокутний імпульс

В межі, коли t®0, його амплітуда U_m®¥, але його площа залишається постійною та дорівнює U_m×Dt = 1.

За допомогою дельта-функції, як і одиничної функції, можна записати аналітічно функцію (сигнал), яка змінюється безперервно за довільним законом (рис.7)

Подамо безперервне діяння S(t)n (рис.7) n – імпульсами прямокутної форми, площа яких дорівнює одиниці Dtk×S(tk) = 1 (рис.8), тоді

. (3)

Рис. 7. Графік складної безперервної функції.

Отриманий вираз (3) є аналітичним записом складного сигналу за допомогою дельта-функції.

ВИСНОВОК: Сигнал будь-якої форми можна подати за допомогою одиничної да дельта-функцій.

Сигнали, які описуються одиничною та дельта функціями в теорії кіл прийняті за типові діяння.

2.ЧАСОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

Вище було показано, що сигнал будь-якої форми можна подати у вигляді суми великого числа зміщених по вісі часу елементарних ступінчатих функцій. Тому дуже важливо знати реакції кола на дії таких сигналів. Цим реакціям. Зважаючи на їх важливість, дані назви перехідних та імпульсних характеристик.

Часовими характеристиками електричних кіл називають відгуки електричних на типові діяння d (t) та s(t) – функцій при нульових початкових умовах.

Відповідні їм часові характеристики називають перехідною та імпульсною характеристиками.

Часова характеристика лінійного кола чисельно дорівнює її відгуку га типове діяння.

1. Прехідна характеристика.

Перехідною характеристикою h(t) називають відгук кола на діяння одиничної функції d(t) при нульових початкових умовах.

Оскільки d(t) = 1(t) = 0 при t < 0, то і h(t)=0 при t < 0.

Останнє витікає з принципу причинності та аналітично можливо виразити помноженням перехідної характеристики на одиничну функцію h(t)×1(t). У цьому записі наявність множника 1(t) тільки обмежує область існування функції h(t) від t=0 до t = ¥ без впливу на характер її змінювання.

В ОТКС часто розглядають функцію вигляду 1(t-t). Таку функцію називають функцією запізнюючого аргументу. Фіксоване значення часу t означає момент стрибка одиничної функції.

Прехідна характеристика може буде безрозмірною чи може мати розмірність в залежності від розмірності вхідної та вихідної величини. Перехідна характеристика за напругою безрозмірна. Види характеристик в залежності від розмірності вхідної та вихідної величини приведені в таблиці 1.

Таблиця 1.

S(t)	x(t)	Найменування перехідної характеристики	Позначення	Одиниці вимірювання
Uвх­(t) = 1(t), В	Uвих­(t), В	за напругою	hU(t)	безрозм.
Uвх­(t) = 1(t), В	івих­(t), А	прохідна провідність	hg(t)	См
івх­(t) = 1(t), А	Uвих­(t), В	прохідний опір	hR(t)	Ом
івх­(t) = 1(t), А	івих­(t), А	за струмом	hi(t)	безрозм.

Як буде показано, перехідна характеристика кола h(t) залежить тільки від параметрів R, L, C та від конфігурації електричного кола. За виглядом перехідної характеристики можна визначити деякі властивості та деякі параметри електричних кіл.

Частково за нею можна визначити вплив кола на фронти та вершини імпульсів, які передають через електричне коло. Перехідна характеристика описує як вільні так і примусові процеси в електричному колі.

2. Імпульсна характеристика.

Імпульсною характеристикою кола k (t) називають відгук кола на діяння дельта-функції при нульових початкових умовах.

В зв’язку з тим, що d(t) ¹ 0 при t = 0 та дорівнює нулю при +0 < t < -0, то згідно принципу причинності, імпульсна характеристика k (t) = 0 при t < -0. При t > +0 k (t) може дорівнювати нулю. Це пояснюється тим, що в момент часу t = 0, тобто в момент “електричного удару”, який триває нескінченно малий час Dt, у колі може бути накопичена електрична чи магнітна енергія. За рахунок цієї енергії на виході кола можуть мати місце струми та напруги, тобто імпульсна характеристика може відрізнятися від нуля і після t = +0.

Вигляд k(t) як і h(t) залежить від параметрів конфігурації кола.

Різні кола мають різні імпульсні характеристики. За виглядом k(t) можна судити про вплив кола на фронти передаваємих імпульсів. Імпульсна характеристика описує тільки вільні процеси в електричному колі.

3. Зв’язок між імпульсною та перехідною характеристиками.

Для встановлення зв’язку скористаємось рівнянням d(t) = s¢(t) та властивостями лінійних кіл. Лінійне коло не змінює характеру зв’язку між сигналами які передаються через нього.

Отже математичний зв’язок, який існує між діяннями d(t) = s¢(t) буде мати місце між відгуками h(t) та k(t), тобто k(t) = h¢ (t), або з урахуванням області існування функції h(t):

(4)

Таким чином, імпульсна характеристика кола дорівнює першій похідній від перехідної характеристики.

Продиференціюємо вираз (4), отримаємо:

k(t) = h¢ (t) × 1(t) + h (t) × d(t) (5)

Завдяки фільтрувальним властивостям дельта-функції другий член (5) буде мати значення, яке відрізняється від нуля тільки при t=0, тому (5) можна записати у вигляді

k(t) = h¢ (t) × 1(t) + h (0) × d(t) (6)

Рівняння (6) дозволяє за відомою h (t) визначити k(t).

Де h¢ (t) × 1(t) - вільна складова;

h (0) × d(t) – примусова складова.

З вище викладеного можна зробити наступні висновки:

- перехідна характеристика описує як вільний, так і примусовий процеси;

- імпульсна характеристика описує тільки вільні процеси.

3. МЕТОДИКА ВИЗНАЧЕННЯ ЧАСОВИХ ХАРАКТЕРИСТИК.

Часові характеристики k(t) та h(t) можна визначити експериментальним або розрахунковим (аналітичним) методами.

1. Експериментальне визначення часових характеристик.

При експериментальному методі необхідно на вхід кола подати напругу (чи струм), який описується одиничною 1(t) або дельта-функцією d(t).

Вхідним діянням, модулюючим одиничну функцію, можуть бути імпульси з амплітудою А = 1В, при t_і >> t_k та t_n >> t_k , де t_n – тривалість паузи між імпульсами (рис.9)

Рис.9. Вхідне діяння, модулююче одиничну функцію.

Найчастіше t_і > 1/10 Гц та t_n >10 t_k.

Вхідним діянням, модулюючим дельта-функцію, можуть бути імпульси, які мають тривалість імпульсу ненабагато меншу постійної часу кола, та паузу між імпульсами t_n, значно більшу постійної часу кола (рис.10)

Рис. 10 Вхідне діяння, модулююче дельта-функцію.

Звичайно приймають 10t_і < t_k та t_n >10 t_k.

Для отримання графічного зображення перехідної та імпульсної характерис-тики до виходу кола підключаютьосцилограф.

За осцилограмами можна визначити параметри часових характеристик А, t_k та потім записати їх аналітично.

2. Визначення часових характеристик розрахунковим методом.

Часові характеристики електричних кіл – перехідна та імпульсна – широко використовуються при аналізі кіл на діяння не тільки постійних напруг, а й складних функцій, тобто вони застосовуються у другому часовому методі. Тому аналітичні вирази часових характеристик треба вміти визначати і розрахунковим методом.

Методика визначення перехідної характеристики така сама, як методика визначення відгуку кола на діяння постійної напруги, тобто часові характеристики визначають класичним методом. Різниця полягає лише в тому, що в цьому випадку величина постійної напруги дорівнює одному вольту.

Так, наприклад, відгук кола RC при підключенні постійної напруги U₀ має вигляд:

; ;

Встановивши значення U₀ = 1(t) = 1В, отримаємо аналідичний вираз перехідних характеристик кола:

; ;

Коли знаємо аналітичний вираз характеристики, легко визначити аналітичний вираз імпульсної характеристики.

Наприклад, якщо

, тоді = h¢ (t) × 1(t) + h (0) × d(t) =

=

З урахуванням області існування перехідної характеристики, отримаємо

k(t) =

ВИСНОВОК: Таким чином, перехідна характеристика h(t) будь-якого електричного кола визначається відповідно з рекомендаціями, викладеними у питанні класичним методом, при цьому U₀ = 1(t), a x(t) = h(t), але при цьому треба враховувати, що початкові умови нульові.

1. МЕТОДИКА ВИЗНАЧЕННЯ РЕАКЦІЇ КОЛА НА ІМПУЛЬСНІ ДІЯННЯ.

Нам відомо, що відгук кола x(t) на діяння типової функції включення S(t₀)×1(t) за відомою перехідною характеристикою h(t) дорівнює відразу

x(t) = S(t₀)×Н(t) де t₀ = +0; Н(t) = h (t)×1(t)

Якщо на вході кола діє сигнал у вигляді прямокутного імпульсу, то його раніше розглянутою методикою можна виразити сумою функцій включення, а результуючий відгук кола x_Р(t) відповідно до сутності методу накладання, можна визначити як суму суму відгуків на кожне з елементарних діянь окремо, т.б.

Рзглянемо приклад: На вхід кола (див. рис.). перехідна характеристика якогоподається прямокутний імпульс тривалістю t та амплітудою А. Потрібно визначити відгук кола U_C(t).

1. Представимо імпульс у вигляді суми двох функцій S­₁(t) та S­₂(t), які виражені через одиничні функції

S­(t) = S­₁(t) + S­₂(t) = А×1(t) - А×1(t - t_i).

2. По виразу U_C(t) = , де U_C1(t) = S­₁(t₀) ×h(t); U_C2(t) = S­₂(t_i) ×h(t - t_i);

Визанчаємо відгук кола:

U_C(t) = U_C1(t) + U_C2(t) = А×- А×

Висновок: для визначення відгуку кола на імпульсне діяння необхідно імпульс показати у вигляді одиничних функцій та кожну його складову помножити на перхідну характеристику з урахуванням часу запізнення складових.

2. ВИЗНАЧЕННЯ РЕАКЦІЇ КОЛА НА ДОВІЛЬНІ ВПЛИВИ ЗА ЇЇ ПЕРЕХІДНОЮ ХАРАКТЕРИСТИКОЮ.

а) Визначення реакції кола на довільні впливи за її перехідною характеристикою.

Нехай на лінійне коло, перехідна характеристика якого h(t), діє напруга чи струм довільної форми S(t) безперервне за вийнятком точки t = 0. Потрібно визначити реакцію кола в довільний момент часу. Найчастіше це час спостереження t. В зв’язку з тим, що фігурують два часи, поточний та час спостереження, то поточний час, а, значить і вісь часу позначимо t.

Маємо S(t). Оскільки нам відома h(t), тобто реакція кола на одиничну функцію, то S(t) представимо у вигляді суми одиничних функцій включення.

де К×Dt - часовий інтервал, через який повторюються ступінчаті функції включення. Реакція кола на 1-ий стрибок S(0)

x(t) = S(0) × h(t)

Якщо Dt®0, то стрибків буде нескінченна кількість, тоді елементарний стрибок DS_k можна замінити його диференціалом dS(t).

Оскільки елементарний стрибок dS(t) виникає в довільний момент часу. То реакція кола на цю сходинку запізнюється.

Рис.

Значить, реакцію кола на стрибок dS(t)

dS(t) h(t - t).

Просумуємо нескінченне число нескінченно малих доданків, тобто, це рівносильно визначенню інтегралу

В зв’язку з тим, що функція S(t) неперервна, то

dS(t) = S¢dt, а це дає можливість отримати першу форму запису інтегралу накладення (інтеграла Дюамеля)

(1)

Його фізична суть: суперпозиція елементарних відгуків на елементарне діяння.

б) Визначення реакції кола на довільне діяння за її імпульсною характеристикою

Нехай коло характеризується імпульсною характеристикою k(t) та діяння на коло має довільну форму. Потрібно визначити реакцію кола в довільний момент часу t.

Рис.

Розіб’ємо діяння на цілий ряд нескінченно вузьких імпульсів. Покажемо, що якщо імпульс тривалістю Dt та амплітудою А, то реакція кола на нього в довільний момент часу t буде:

Si × k(t), де S_i = А × Dt.

Для цього запишемо цей вузький імпульс через функції включення

А × 1(t) - А × 1(t - t),

Відомо, що h(t) – реакція на одиничну функцію.

x(t) = A [h(t) - h(t- t)] = A × Dh(t) – реакція кола на цей елементарний імпульс.

Так, як вхідне діяння безперервне, то і вхідна характеристика також безперервна. Отже Dh(t)» h¢ (t) Dt.

x(t)» А × h¢ (t) Dt = Si × k(t), що і потрібно було доказати.

Повернемося до нашої задачі: потрібно визначити реакцію кола, якщо відоиа її k(t). Можемо знайти спочатку реакцію кола на вузький імпульс в момент часу t. Коло лінійне, а значить можна далі їх скласти.

Якщо імпульс має нескінченно малу dt (тривалість), то площа імпульсу в момент часу t буде S(t)dt.

В момент часу t типова реакція буде запізнюватися і визначатиметься

S(t)dt × k(t - t).

Це буде реакція від одного елементарного імпульсу. Якщо ці елементарні реакції просумувати, то отримаємо запис імтегралу накладення за імпульсною характеристикою кола

(2)

Маємо другу форму запису інтегралу Дюамеля.

Загальна форма запису інтеграла накладення при розривному діянні має вигляд:

(3)

Для зручності математичних перетворень при використанні інтеграла накладення розроблені і інші форми запису інтеграла:

х(t) = S(0)H(t)

х(t) = S(t)H(0)

х(t) = S(t)H(0)

х(t) =

х(t) =

х(t) =

Інтеграл накладення також вводять для визначення комплексної огинаючої сигнала на вході кола. Його запис має вигляд:

(10)

Отже метод накладення, другий часовий метод, який використовують при аналізі сигнала будь-якої форми, які передаються через лінійні кола.

Цей метод відрізняється своїю простотою, особливо при обчислюванні на ступінчаті діяння. Застосування його в загальному випадку зводиться до трьох основних операцій:

1. Знаходження часових характеристик h(t) або k(t) класичним методом;

2. Визначення значень функцій, які входять до складу інтегралу накладення;

3. Підставлення значень цих функцій до інтеграла накладення та розв’язання його.

Дата добавления: 2014-01-15