Биномиальное распределение

Гипергеометрическое распределение описывает случай изъятия выборки без возвращения. При этом вероятность вынуть в первой попытке белый шар равна D/N, вероятность второго белого шара будет равна (D-1)/(N-1), если первый шар был белый, и равна D/(N-1), если первый шар был черный.

Таким образом, вероятность того, что второй шар будет белым по формуле полной вероятности равна:

Аналогично можно показать, что на любом шаге вероятность вытащить белый шар равна D/N, несмотря на то, что эта вероятность, вообще говоря, зависит от того, какие шары вытаскивались на предыдущих шагах.

В случае если после каждого шага изъятия случайным образом шара, он будет возвращаться обратно в ящик, очевидно, что вероятность вытащить на i – м шаге белый шар всегда будет равна D/N независимо от того, какого цвета шары извлекались на предыдущих шагах.

Предположим, что делается выборка из n шаров как в случае рассмотрения гипергеометрического распределения, но каждый раз после выемки и определения цвета вынутого шара этот шар возвращается в ящик. Найдем вероятность того, что из n вынутых и возвращенных шаров число белых будет равно d. Т.е. найдем распределение белых шаров в выборке с возвращением. Поскольку в этом случае на каждом i – м шаге вероятность появления белого или черного шара независима, то вероятность вынуть белый шар k раз будет равна:

Р(k=d) = P^d (1-P)^n-d = P^d Q^n-d.

Всего таких событий может быть равно числу сочетаний из n по k. Поэтому искомая вероятность равна:

P(k=d) = be(k=d | N; D; n) = (2.14)

Распределение (2.14) называется распределением Бернулли и, вообще говоря, связывает только три параметра: d; n и P = D/N (значения D и N входят в это распределение в отличие от гипергеометрического распределения в виде отношения, т.е. одного параметра Р). Соответственно, функция распределения Бернулли будет равна:

Ве(d < k | P; n) = (2.15)

Естественно, эта вероятность эквивалентна вероятности того, что в ящике доля белых шаров равна Р, если в выборке с возвращением объема n встретилось d белых шаров. Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения будут равны:

M[k=d] = n P (2.16)

σ_В² = n·P·Q (2.17)

Следовательно, при использовании схемы испытаний с возвращением получается более простое выражение для оценки доли белых шаров в ящике, чем в модели без возвращения, которая описывается гипергеометрическим законом распределения, но следует учитывать, что в случае распределения Бернулли точность модели будет меньше, чем для гипергеометрического распределения, поскольку σ_H² меньше, чем σ_В², в (N-n)/(N-1) раз.

Дата добавления: 2014-01-15