Загальний і частинний розв’язки

Неоднорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь.

Лекція 6

Нехай задано неоднорідну систему рівнянь, яку у векторній формі можна подати у вигляді

(*)

Розглянемо відповідну однорідну систему

(**)

Нехай вектор є розв’язком неоднорідної системи, а вектор є розв’язком однорідної системи. Тоді, додавши, дістанемо систему

таку, що також є розв’язком неоднорідної системи. Неважко помітити, що коли вектор є розв’язком системи

тоді вектор є розв’язком системи

.

Таким чином, вектор має такий зміст: якщо – частинний розв’язок системи (*), а – будь-який розв’язок системи (**), то є розв’язком системи (*). Тоді матимемо

а тому

тобто якщо є системою лінійно незалежних векторів-розв’язків однорідної системи, то розв’язком неоднорідної системи є сукупність її частинного і загального розв’язків однорідної системи.

Такий розв’язок називається загальним розв’язком неоднорідної системи рівнянь.

Неоднорідна система рівнянь має єдиний розв’язок, якщо система сумісна і ранг основної матриці збігається з кількістю рівнянь і кількістю невідомих системи: m=n=r. При цьому маємо на увазі, що усі рівняння системи незалежні. З умови сумісності випливає, що ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної, але ранг дорівнює найвищому порядку мінора, відмінного від нуля, у даному разі n. Таким чином, визначник основної матриці має бути відмінним від нуля. Якщо ж визначник основної матриці дорівнює нулю, то система має або нескінченну множину розв’язків, або несумісна (не має розв’язків).

Якщо система сумісна, то вона або розв’язувана при будь-якому векторі , або відповідне однорідне рівняння має нескінченну множину розв’язків. Це припущення називається альтернативою Фредгольма.

Правило Крамера. Розглянемо окремий випадок системи, коли кількість рівнянь збігається з кількістю невідомих, при цьому всі рівняння незалежні. Система n рівнянь з n невідомими, якщо детермінант основної матриці не дорівнює нулю, має один і тільки один розв’язок

де ∆ – визначник основної матриці; ∆x_i – визначник, утворений із визначника ∆ заміною коефіцієнтів невідомого x_i вільними членами системи b_i.

Дата добавления: 2014-01-11