Основные понятия математической логики. Основные логические операции

В 19 веке английский математик Джордж Буль ввел в логику математическую символику. Логика превратилась в математическую науку, основная цель которой – свести операции с логическими заключениями к формальным действиям с символами. В его честь новую науку назвали Булевой алгеброй, или алгеброй логики.

Дадим определение основным понятиям и рассмотрим некоторые операции математической логики.

Математическая логика - современный вид формальной логики, изучающей различные умозаключения.

К основным понятиям математической логики относятся:

· логические символы - объекты с двумя возможными состояниями. Их обозначают символами: 0 и 1, или буквами: Л (ложно) и И (истинно).

· логические операции. В логике используются логические операции: «и», «или», «не», «если …то…».

Результаты логических операций определяются таблицей истинности.

Таблица истинности – это таблица, в которой определены значения высказывания после выполнения определенных логических операций.

Рассмотрим основные логические операции.

Отрицание. Имея суждение А, можно образовать новое суждение, которое читается как «не А». Обозначают отрицание: .

Например, пусть суждение А = «Я сдал зачет», тогда отрицанием будет: = «Я не сдал зачет».

А

Конъюнкция. Конъюнкция двух высказываний А и В соответствует союзу «и». Она обозначается символом «». Связка «и» в составных суждениях всегда предполагает одновременную истинность составляющих суждений.

Операция конъюнкции определяется таблицей истинности

А	В

Дизъюнкция. Дизъюнкция двух суждений А и В соответствует союзу «или» и обозначается символом «». Запись АВ может быть прочитана «А или В».

Операция дизъюнкции определяется таблицей истинности

А	В

Конъюнкцию иногда называют «логическое и», дизъюнкцию – логическое или».

Следует подчеркнуть соответствие рассматриваемых логических операций и операций над множествами:

- конъюнкция – пересечение множеств;

- дизъюнкция – объединение множеств.

Логические операции имеют следующий приоритет выполнения:

1. Отрицание.

2. Конъюнкция.

3. Дизъюнкция.

Кроме того, порядок выполнения логических операций можно изменить с помощью скобок.

В алгебре логики известно много общезначимых формул, которые также называются законами алгебры логики.

Основные законы алгебры логики:

Законы идемпотентности:

Закон противоречия:

Закон исключения третьего:

Закон снятия двойного отрицания:

Законы поглощения:

Взаимосвязь между основными логическими операциями определяется, в частности, законами де Моргана:

Доказательство этих законов элементарно осуществляется с помощью построения таблиц истинности или простейших логических рассуждений.

Следствием приведенных выше законов является следующий факт: любую логическую формулу можно заменить равносильной ей, но содержащую только две логические операции: конъюнкцию или отрицание или дизъюнкцию или отрицание. Дальнейшее исключение логических операций, очевидно, невозможно, то есть эти пары логических операций представляют собой минимальный базис правильно построенных формул.

Вычисление значения логической формулы любой сложности выполняется путем построения соответствующей таблицы истинности. При этом вся формула разбивается на элементарные логические операции, и результат вычисления является результатом суперпозицией результатов этих операций, порядок выполнения которых определяется их приоритетом.

Более подробно примеры вычисления значений сложных логических выражений будут рассмотрены на практическом занятии.

Заключение

В ходе лекции нами были рассмотрены основные теоретические сведения, позволяющие лучше понять базовые принципы построения ЭВМ, а также представления информации на машинном уровне и выполнения элементарных операций над данными.

Следует отметить, что изучаемые вопросы значительно объемнее, и можно сказать, что сегодня мы увидели лишь «верхушку айсберга». Исследованием методов кодирования информации занимается отдельный большой раздел науки «информатика». Алгебра логики – это самостоятельное крупное научное направление. Во многом благодаря достижениям ученых в этих областях знания достигнут современный уровень развития цивилизации.

Весь тот комфорт, который окружает нас в повседневной жизни, является результатом стремления человечества к новым знаниям и применения этих знаний в практической деятельности. Поэтому человек, желающий называть себя «образованным» в современном смысле этого слова, должен стараться постичь хотя бы базовые основы принципов, позволяющих функционировать современным техническим устройствам. Хочется надеяться, что полученные сегодня знания позволят вам стать немного образованнее, пробудят в вас стремление постигать неведомое.

Дата добавления: 2014-01-15