Распределение Пуассона. Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение

Биноминальное распределение

Общая характеристика законов распределения как теоретической основы выборочного контроля качества продукции

Теоретической основой выборочного контроля качества продукции являются различные законы распределения случайных величин теории вероятностей. Выделяют следующие виды распределения случайных величин: биноминальное; гипергеометрическое; распределение Пуассона и нормальное.

Первые три, чаще всего, используются при контроле по качественному признаку, когда каждое отдельное испытание в серии имеет только два исхода: изделие годное или дефектное. Нормальный закон используется при контроле по количественным признакам.

Закон биноминального (двухчленного) распределения показывает, чтовероятность Р(n,z) появления в выборке объемом n числа z дефектных изделий определяется по формуле:

n

Р(n,z) = C^z_n х q^z х р^{n – z} = ——— х q^z х р^{n – z},

z(n – z)

где q – вероятность появления брака;

р – вероятность появления годного изделия;

С^z_n – cочетание из n элементов по z;

q и р – характеризуют устойчивость технологического процесса.

Гипергеометрическое распределение характеризуется следующими зависимостями:

C^z_Np х С^{n – z}_{N - Np} k

Р(n,z) = ————————; F(n,z) = ∑ P(z,n);

Сⁿ_{N k = 0}

N – n

z = q х n; σ² = n х р х q х ———,

N – 1

где F(n,z) – накопленная или кумулятивная вероятность, которая показывает тенденцию наполнения выборки дефектными деталями, а N – полный объем деталей из которых делается выборка.

Характер графиков Р(n,z) и F(n,z) не отличается от ранее рассмотренных. Сам закон более точно отражает ситуацию, когда выборка не возвращается в генеральную совокупность, что обычно имеет место на производстве.

Распределение Пуассона является предельным для биноминального распределения, когда вероятность (q ≥ 0,1) мала, число событий велико, а математическое ожидание z = q х n появления дефектных изделий является ограниченным числом.

Это распределение часто называют законом распределения редких событий. При таких условиях формула:

n

Р(n,z) = ———— х q^z x p^{n – z}

z(n – z)

заменяется на формулу:

(n x q)^z

P(n,z) = ———— x е^-nq;

z

причем z = σ² = q x n.

Нормальное распределение

Нормальное распределение используется как модель, так как многие совокупности измерений имеют распределение, приближающееся к нормальному. Условно площадь под кривой нормального распределения относительно случайной величины Х равна единице (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Кривая нормального распределения

Сокращенно величину площади под нормальной кривой представляют таблицей, в которой даются значения площадей от Z, справа и слева Z; между ±Z и площадь вне пределов Z. Где Z – величина пределов отклонений, которая определяется по формуле:

Z = Х/σ,

где Х – нормально распределенная случайная величина, а σ – среднее отклонение.

В указанных таблицах представлены величины площади при средних квадратических отклонениях от бесконечности до Z. Для того чтобы определить величину площади между двумя значениями Z, необходимо произвести вычитания соответствующих значений, приведенных в таблице. Например, площадь между Z = - 1 и Z = 2 равна 0,9773 – 0,1587 = 0,81186.

Используя таблицы функции нормального распределения, можно определить величину или процент дефектных изделий.

Дата добавления: 2014-01-15