Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Правило знаходження частинних похідних




При знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної , вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змінна .

Тому частинні похідні знаходяться за формулами і правилами обчислень похідних функцій однієї змінної.

Частинна похідна характеризує швидкість зміни функції в напрямі осі .

Геометричний зміст частинної похідної: , де – кут між віссю і дотичною, проведеною до кривої в точці .

Аналогічно, , де – кут між віссю і дотичною, проведеною до кривої в точці .

Для функції n змінних можна знайти n частинних похідних , де ,

.

Щоб знайти частинну похідну , треба знайти звичайну похідну функції по змінній , вважаючи решту змінних сталими.

Якщо існує частинна похідна по змінній від функції , то її називають частинною похідною другого порядку від функції по змінній і позначають .

Якщо існує частинна похідна по змінній від функції , то її називають мішаною частинною похідною другого порядку від функції і позначають .

Для функції двох змінних розглядають чотири похідні другого порядку .

Якщо існують частинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називають частинними похідними третього порядку функції , їх вісім:

.

 

Теорема (про мішані похідні)

Якщо функція визначена разом зі своїми похідними в деякому околі точки , причому та неперервні в точці , то в цій точці .

 

Приклад.Знайти частинні похідні першого та другого порядку функції .

 

3. Диференційовність функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Виберемо прирости так, щоб точка належала розглядуваному околу і знайдемо повний приріст функції в точці :

.

Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна подати у вигляді

,

де – дійсні числа, які не залежать від ,

– нескінченно малі функції при .

 

Властивості функції двох змінних:

Теорема 1 (неперервність диференційовної функції)

Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.

 

Теорема 2 (існування частинних похідних диференційовної функції)

Якщо функція диференційовна в точці , то вона має в цій точці похідні та і .

 

Теорема 3 (достатні умови диференційовності)

Якщо функція має частинні похідні в деякому околі точки і ці похідні неперервні в точці , то функція диференційовна в точці .

 

Наслідок (з теореми 2 і теореми 3)

Щоб функція була диференційовною в точці необхідно, щоб вона мала в цій точці частинні похідні і достатньо, щоб вона мала в цій точці неперервні похідні.

 

4. Повний диференціал функції. Диференціали вищих порядків



 

Якщо функція диференційовна в точці , то її повний приріст в цій точці можна подати у вигляді: , де при .

Повним диференціалом диференційовною в точці функції називається лінійна відносно та частина повного приросту цієї функції в точці , тобто .

Диференціалами незалежних змінних та назвемо прирости цих змінних , тоді повний диференціал можна записати:

Приклад 1.Знайти повний диференціал функції .

Повний диференціал функції називають диференціалом першого порядку.

Диференціал другого порядку визначають за формулою .

Тоді, якщо функція має неперервні частинні похідні, то

або .

Символічно це записують .

Диференціал третього порядку .

Диференціал порядку .

 

Приклад 2.Знайти диференціал другого порядку функції .

 

5. Похідна складеної функції. Повна похідна

 

Нехай – функція двох змінних та , кожна з яких, в свою чергу, є функцією незалежної змінної : , тоді функція є складеною функцією змінної .

 

Теорема (похідна складеної функції)

Якщо функції диференційовні в точці , а функція диференційовна в точці , то складена функція також диференційовна в точці . Похідну цієї функції знаходять за формулою .

 

Якщо , де ,то .

Якщо , а , то , а оскільки , то – формула для обчислення повної похідної.

 

Приклад 3. Знайти функції , якщо .

 

Розглянемо загальний випадок. Нехай – функція двох змінних та , які, в свою чергу, залежать від змінних та : , тоді функція є складеною функцією незалежних змінних та , а змінні та – проміжні.

 





Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1748; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 107.22.46.59
Генерация страницы за: 0.086 сек.