Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Исходя из физической природы явления изгиба, можем утверждать, что изо-гнутая ось непрерывной балки должна быть непрерывной и гладкой (не имеющей изломов) кривой. При этом деформация того или иного участка балки определяется искривлением его упругой линии, то есть кривизной оси балки.

Ранее в теме «Прямой изгиб» была получена формула для определения кривизны стержня (1/ρ) при изгибе

.

С другой стороны, из курса высшей математики известно, что уравнение кривизны плоской кривой выглядит следующим образом:

.

Приравняв правые части данных выражений, получим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, которое называется точным уравнением изогнутой оси бруса

.

В координатной системе прогибов x 0 y, когда ось y направлена вверх, знак момента определяет знак второй производной от y по x.

Интегрирование данного уравнения, очевидно, представляет некоторые трудности. Поэтому его, как правило, записывают в упрощенной форме, пре-небрегая величиной в скобках по сравнению с единицей.

Тогда дифференциальное уравнение упругой линии балки рассмотрим в виде:

. (1)

Решение дифференциального уравнения (1) найдем, интегрируя обе его части по переменной x:

, (2)

(3)

Постоянные интегрирования C ₁, D ₁находят из граничных условий – условий закрепления балки, при этом для каждого участка балки будут определяться свои постоянные.

Рассмотрим процедуру решения данных уравнений на конкретном примере.

Пример 1.

Дано:

Консольная балка длиной l (заделка слева) загруженна поперечной силой F. Материал балки (E), форму и размеры ее сечения (J_z) также считаем известными.

Определить закон изменения угла поворота ϕ(x) и прогиба y (x) балки по ее длине и их значения в характерных сечениях.

Дата добавления: 2014-01-20