Перевод из десятичной системы в двоичную

Перевод из двоичной системы в десятичную

Переводы целых чисел в позиционных системах

Вопросы для проверки знаний.

1.Что называют системой счисления и в чем особенности позиционных систем?

2.Что называют основанием позиционной системы счисления?

3.Что называют алфавитом системы счисления и какой алфавит используют в позиционных системах с постоянными основаниями?

4.Что такое “развернутой формой представления целых чисел” в позиционной системе с постоянным основанием, равным р?

5. Какие позиционные системы с постоянными основаниями являются наиболее распространенными?

Двоичную запись числа представляют в развернутой форме как сумму степеней числа 2, переводя затем степени в десятичную систему. Показатель степени числа 2 равен номеру рассматриваемого разряда.

Пример 1. Перевести в десятичную систему число 1001001₂.

Решение. Последовательно записываем разложение числа по степеням основания 2, выражаем полученные степени в десятич­ной системе и суммируем: 1001001₂=1×2⁶+1×2³+1×2⁰=64₁₀+8₁₀+1₁₀=73₁₀.

Проще всего разложить десятичное число по степеням 2 последовательным многократным делением его на 2. При этом остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное образуют обратную двоичную запись числа.

Пример 2. Перевести в двоичную систему число 29₁₀.

Решение. Последовательно делим число и получающиеся частные на 2, выделяя подчеркиванием остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное:

29 ½ 2

28 ½ 14 ½ 2

1 14 ½ 7 ½ 2

0 6 ½ 3 ½ 2

1 2 ½ 1

1

Двоичную запись числа получим, располагая подчеркнутые числа в обратном порядке: 29₁₀=11101₂.

2.1.3. Перевод чисел из систем с основаниями р= 4, р= 8, р= 16 в десятичную систему

Для компактной записи двоичной информации удобно использовать числа в системах счисления с основаниями, являющимися степенями 2: р= 4 = 2², р= 8 = 2³, р= 16 = 2⁴. Поскольку в шестнадцатеричной системе счисления в каждом разряде могут стоять величины, соответствующие значениям от 0 до р -1 = 15, то для обозначения ве­личин, превышающих 9, в алфавите системы по общему правилу используют латинские буквы (большие и малые): 10₁₀=А₁₆, 11₁₀=В₁₆, 12₁₀=С₁₆, 13₁₀=D₁₆, 14₁₀=E₁₆, 15₁₀=F₁₆.

Перевод чисел из рассмотренных систем счисления производится, как и для двоичной системы, с использованием развернутой формы представления числа по степеням числа р.

Пример 3. Перевести в десятичную систему число, представленное в шестнадцатеричной системе как 8DВ4₁₆.

Решение. Последовательно записываем развернутую форму представления числа по степеням основания 16, выражаем полученные степени в десятичной системе и суммируем: 8DВ4₁₆ = 8×16³+D×16²+11×16¹+4×16⁰ = 8×4096+13×256+11×16+4 = 32768₁₀+ 3328₁₀+ 176₁₀+4₁₀=36276₁₀.

Пример 4. Перевести в десятичную систему число, представленное в четверичной системе как 20313₄.

Решение. Используем развернутую форму представления числа по степеням основания 4, выражаем их в десятичной системе и суммируем:

20313₄=2×4⁴+3×4²+1×4¹+3×4⁰=2×256+3×16+1×4+3×1=512₁₀+48₁₀+4₁₀+3₁₀=567₁₀.

2.1.4. Перевод чисел из десятичной системы в системы с основаниями p= 4, p= 8, p= 16

Производится аналогично двоичной системе путем последовательного деления десятичной записи числа на p и записи в обратном порядке всех остатков от деления на каждом шаге и самого последнего частного.

Пример 5. Перевести в 16-ричную систему число 1532₁₀.

Решение. Последовательно делим число и его частные на 16, выделяя остатки от деления и самое последнее частное:

_ 1532 ½16

1520 ½95 ½16

1280 ½ 5

15

Шестнадцатеричную запись числа получаем, переводя все подчеркнутые числа в 16-ричную систему (12₁₀=С₁₆, 15₁₀=F₁₆) и рас­по­ла­гая их в обратном порядке: 1532₁₀=5FС₁₆.

Переходы между системами с основаниями вида р= 2 ^s, являющимися степенями 2, проще выполнять через двоичную систему.

2.1.5. Перевод целого числа из системы с основанием p= 2 ^s в двоичную

Все цифры (в том числе и 0), стоящие в разрядах числа, заменяют их двоичными записями длины s. Если в самых старших разрядах двоичной записи (слева) оказались стоящие подряд нули, их можно отбросить, как незначащие.

Пример 6. Перевести в двоичную систему число, представленное в восьмеричной системе: 3107₈.

Решение. Так как 8=2³, то s =3. Представляя по очереди цифры в разрядах числа их двоичными записями длины s =3, получим: 3₈=011₂, 1₈=001₂, 0₈=000₂, 7₈=111₂. Соединяя полученные двоичные выражения и отбрасывая незначащий нуль в первой записи (для цифры 3), получим искомый ответ:

3107₈=11001000111₂.

Пример 7. Перевести в двоичную систему число, представленное в шестнадцатеричной системе как 2А0D₁₆.

Решение. 16=2⁴, s =4. Все цифры в разрядах числа пооче­редно заменяем их двоичными записями длины s=4: 2₁₆=0010₂, А₁₆= 1010₂, 0₁₆=0000₂, D₁₆=1101₂. Соединяя найденные двоичные выражения и отбрасывая незначащие нули в первой записи, получим: 2А0D₁₆=10101000001101₂.

2.1.6. Прямой перевод целого числа из двоичной системы в систему с основанием р= 2 ^s

Все разряды двоичной записи числа, начиная с младших (стоящих справа), разбивают на группы длины s. Если последняя группа получилась длины, меньшей s, ее спереди дополняют незначащими нулями. Затем двоичные числа в полученных группах заменяют цифрами в системе с основанием р= 2 ^s и объединяют в одну запись, которая и является искомым выражением.

Пример 8. Перевести в шестнадцатеричную систему двоичное число 1011010011₂.

Решение. 16=2⁴, s =4. Разбиение на группы длины s =4 с дополнением первой группы из двух цифр двумя незначащими нулями дает следующие двоичные числа: 0010, 1101, 0011. Заменяя их числами в шестнадцатеричной системе (0010₂=2₁₆, 1101₂=D₁₆, 0011₂= 3₁₆) и записывая слитно, получаем искомую запись числа: 2D3₁₆.

Пример 9. Перевести в четверичную систему двоичное число 11101111000₂.

Решение. 4=2², s =2. Разбиение на группы длины s =2 с дополнением первой группы одним незначащим нулем дает следую­щие двоичные числа: 01, 11, 01, 11, 10, 00. Заменяя их числами в четверичной системе (01₂=1₄, 11₂=3₄, 01₂=1₄, 11₂=3₄, 10₂=2₄, 00₂=0₄) и записывая слитно, получаем искомую четверичную запись числа:

11101111000₂=131320₄.

2.1.7. Перевод целых чисел из системы с основанием р= 2 ^s в систему с другим основанием, равным степени 2

В общем случае можно производить через двоичную систему. Для упрощенного перевода из шестнадцатеричной системы в четверичную можно использовать зависимость 4²=16 и переводить непосредственно пары цифр четверичной записи, отсчитываемые от младших разрядов (справа налево) в шестнадцатеричные цифры и обратно.

Пример 10. Перевести в восьмеричную систему шестнадцатеричное число C7А0₁₆.

Решение. В исходной системе 16=2⁴, s =4, поэтому каждый знак в разряде заменяем двоичным числом длины 4: (C₁₆=1100₂, 7₁₆=0111₂, А₁₆=1010₂, 0₁₆=0000₂). Соединяя полученные записи, получаем двоичную запись числа 1100011110100000₂. В итоговой системе 8=2³, s =3, поэтому двоичную запись, начиная с младших разря­дов, делим на группы длины 3 и записываем их в восьмеричной системе. Получим: 1₂=1₈, 100₂=4₈, 011₂=3₈, 110₂=6₈, 100₂=4₈, 000₂=0₈. Записывая полученные восьмеричные числа слитно, получим искомую запись числа в восьмеричной системе: C7А0₁₆=143640₈.

Дата добавления: 2014-01-20