Логические задачи с арифметическими соотношениями

Вопросы для проверки знаний.

1. Каковы объекты изучения логики как науки?

2. Чем отличаются переменные высказывания от высказываний-констант?

3. В чем отличие задания высказываний при помощи фраз естественного языка от задания их при помощи арифметических неравенств?

4. В чем смысл логической функции?

5. В чем отличие одноместных логических функций от двухместных?

6. Как располагают наборы переменных логические функции в ее таблице истинности?

7. Что такое вектор истинности логической функции?

8. Какие символы называют логическими связками?

9. Укажите старшинство элементарных логических функций.

10. Какие элементарные логические функции называют порого­выми?

11. В чем заключается роль формул в научных дисциплинах?

12. Что обычно представляют собой формулы в теориях?

13. Будет ли логической формулойлюбаялинейная запись, включающая обозначения переменных, констант, логических связок и обобщенных функций?

14. Что называют областью истинности функции?

14. Будет ли однозначно определяться по формуле функция, реализующая ее?

15. Будет ли однозначно определяться по функции ее формульное выражение?

Практические задания.

1. Определить, будут ли логическими формулами записи следующего вида (если будут, указать порядок выполнения действий, если нет – укажите, почему):

а) z &ÚØ х; б)ØØ z ® х; в) х Å(у Ø z); г) х Ú у | х & у; д) (х ¯ØØ у)| у & z.

2. Построить таблицу истинности функции f (F), реализующей формулу F =Ø х Ú у &(у Å z).

3. Найти, при каких заданных ниже значениях переменных ложно выражение ху ® уz:

1) x =0, y =1, z =0; 2) x =1, y =1, z =0; 3) x =1, y =1, z =1.

4. Найти, при каких заданных ниже значениях переменных истинно выражение (х Ú у)Å(х ® z): 1) x =0, y =0, z =0; 2) x =1, y =1, z =0; 3) x =1, y =1, z =1.

5. Определить область истинности функции, реализующей формулу F =(х ÅØ у)®(х Ú z).

6. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F, завися­щего от переменных X, Y, Z:

X	Y	Z	F

Определить возможный формульный вид F:

1) ØX ÙØY ÙØZ 2) X ÙY ÙZ 3) X ÚY ÚZ 4) ØX ÚØY ÚØZ

7. Укажите, для какого из предложенных слов истинно выска­зывание:(Первая буква слова гласная Ú Пятая буква слова согласная) ® Вторая буква слова гласная:

1) АРБУЗ; 2) ОТВЕТ; 3) КРЕСЛО; 4) ПРИВАЛ.

В практике программирования зачастую используют логические выражения (условия), в которые входят численные величины – как целые, так и вещественные. Необходимо решать как 1) прямые задачи по определению истинности выражений по значениям входящих в них величин, так и 2) обратные задачи, в которых необходимо найти наборы значений переменных (все или из заданного множества), на которых выражение истинно (либо ложно).

Первую задачу решают прямой подстановкой переменных в формулу. Для решения второй задачи можно применять: а) перебор возможных вариантов решения при небольшом их числе; б) свойства элементарных функций, входящих в выражение.

Первый метод самый простой, но требует выполнения максимального числа операций, второй позволяет сократить расчеты за счет использования особенностей элементарных логических функций.

Пример 1. В формулу входят логические переменные, зависящие от числовых величин а и b: F =Ø(а < b)Ú((а ²+2 b ³6)®(2 а ³ b)). Выбрать из заданного списка набор значений величин а и b, при котором формула F будет ложной:

1) а= 0, b= 2; 2) а= 1, b= 0; 3) а= 1, b= 3; 4) а= 2, b= 1.

Решение. Используем перебор вариантов. Подстановки выполняем последовательно с учетом силы логических связок:

1) F =Ø(0<2)Ú((0²+2·2³6)®(2·0³2))=0Ú(0®0)=0Ú1=1,

2) F =Ø(1<0)Ú((1²+2·0³6)®(2·1³0))=1Ú(0®1)=1Ú1=1,

3) F =Ø(1<3)Ú((1²+2·3³6)®(2·1³3))=0Ú(1®0)=0Ú0=0,

4) F =Ø(2<1)Ú((2²+2·1³6)®(2·2³1))=1Ú(1®1)=1Ú1=1.

Проверка показала, что формула ложна только на наборе 3) (а= 1, b= 3) числовых величин а и b.

Ответ: 3) а =1, b =3.

Пример 2. Для какого числа Х будет истинно высказывание Ø((Х ³6)® Ø(Х <8)):

1) Х= 1; 2) Х= 4; 3) Х= 7; 4) Х= 9.

Решение. Предварительно анализируем заданное высказывание. Оно истинно одновременно с ложностью противоположного ему высказывания (Х <6)® Ø(Х ³8). Импликация ложна только тогда, когда первый ее аргумент равен 1, а второй – 0, т.е. при (Х ³6) = 1; Ø(Х <8) = 0 (либо (Х <8) = 1). Данным двум условиям одновременно удовлетворяет только значение Х= 7 (3 вариант ответа).

Ответ: 7.

Практические задания.

1. В формулу входят логические переменные, зависящие от числовых величин а и b: F =(а + b £12)&((а ²– b ²<6)®(2 а ³ b +3)).

Выбрать из заданного списка набор значений величин а и b, при котором формула F будет истинной:

1) а =0, b =4; 2) а =8, b =6; 3) а =1, b =3; 4) а =5, b =8; 5) а =3, b =2.

2. Для какого из указанных значений числа Х будет истинно высказывание (Х> 1)® ((Х >1)®(Х >4)): 1) Х= 1; 2) Х= 2; 3) Х= 3; 4) Х= 4.

3. Найти количество точек с целочисленными координатами, удовлетворяющих условию: (4(Х –1)²+4³9 Y ²)&(4(Y +1)²+4³9 Х ²).

4. Найти количество точек с целочисленными координатами, удовлетворяющих условию: (min(ï Х +1ï, ï Y –1ï)>1)&9(X +1)²+4(Y –1)²£36).

5. Каково наибольшее целое число Х, при котором истинно высказывание (90< Х×X)®(X <(X –1))?

6. А, В, С – целые числа, для которых истинно высказывание Ø(А = В)Ù((В < А)® (2 С > А))Ù((А<В)®(А >2 С)). Чему равно А, если С =8, В =18?

Дата добавления: 2014-01-20