Уравнение регрессии – это уравнение, выражающее статистическую зависимость между различными показателями

В зависимости от того, сколько различных факторов (показателей) связаны этой зависимостью, разделяют уравнения парной и множественной регрессии.

Уравнение парной регрессии выражает связь между двумя признаками (или показателями), один из которых (независимый) называется факторным, а второй (зависимый) – результативным.

Уравнение множественной регрессии выражает зависимость между более чем двумя показателями, один из которых называется результативным (обозначается обычно через y, а остальные факторными: обозначаются x ₁, x ₂, x ₃,…).

Уравнения парной регрессии могут иметь различный вид, в зависимости от того, какой функцией эта зависимость выражается (линейной, параболой и т.п.): Чаще всего используются следующие функции:

линейная y_x = a ₀ + a ₁ x;

полулогарифмическая y_x = a ₀ + a ₁lg x;

показательная y_x = a ₀ + a ₁ ^x;

степенная y_x = a ₀ x^{a 1};

гиперболическая y_x = a ₀ + a ₁.

Для расчета параметров уравнений регрессии используется рассмотренный выше метод наименьших квадратов.

Параметры уравнения регрессии находятся путем решения так называемых систем «нормальных уравнений», которые имеют разную форму для уравнений регрессии различного вида (в зависимости от числа переменных и вида функциональной зависимости между показателями).

Остановимся вначале более детально на расчете параметров уравнения парной линейной регрессии, так как для расчета его параметров непосредственно выведены формулы, которые нетрудно использовать на практике.

Предположим, что имеется два ряда значений исходных показателей x и y (факторного и результативного признаков). Требуется построить уравнение парной линейной регрессии между признаками:

y = a ₀ + a ₁ x.

Для определения его параметров составляется система нормальных уравнений:

na ₀ + a ₁Σ x = Σ y;

a ₀Σ x + a ₁Σ x ² = Σ xy. (10.1)

Для решения системы обычно используется метод определителей.

Рассчитывается определитель матрицы коэффициентов при неизвестных, т.е. определитель

Δ =

Затем поочередно вместо каждого столбца этой матрицы подставляется столбец свободных членов и рассчитывают еще два определителя:

Δ₀ =

Δ₁ =

Находим неизвестные и по формулам:

= Δ₀/ Δ и = Δ₁/ Δ

В результате получаем следующие формулы для расчета параметров уравнения регрессии:

(10.2)

Чтобы воспользоваться приведенными выше формулами, обычно строится вспомогательная таблица (табл. 10.1), в последней строке которой находятся величины , , , , которые необходимо подставить в формулы (11.2).

Таблица 101.1

Дата добавления: 2014-01-20