Ускорение и его составляющие

Чаще всего приходится иметь дело с движением, в котором вектор скорости не остается постоянным, а меняется как по модулю, так и по направлению.

Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Пусть вектор задает скорость материальной точки в положении А в момент времени . За время движущаяся точка перешла в положение B и приобрела скорость , отличающуюся от как по модулю, так и по направлению (рис. 1.3.1). Перенесем вектор в точку А и найдем вектор изменения скорости .

Средним ускорением неравномерного движения называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к тому интервалу времени, за который это изменение произошло:

. (1.3.1)

Вектор совпадает по направлению с вектором изменения скорости.

Мгновенным ускорением называется величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение материальной точки:

. (1.3.2)

Таким образом, мгновенное ускорение – векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Пример 1.3.1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид: . Найти: 1) среднюю путевую скорость за промежуток времени от до ; 2) мгновенную скорость и модуль мгновенной скорости в указанные моменты времени; 3) среднее ускорение за промежуток времени от до ; 4) мгновенное ускорение и модуль мгновенного ускорения в указанные моменты времени.

Решение:

1) Средняя путевая скорость находится по формуле 1.2.2:

.

Найдем положения движущейся точки в указанные моменты времени: (м),

(м).

Тогда .

2) При прямолинейном движении мгновенная скорость в любой момент времени (формула 1.2.4): .

Модуль мгновенной скорости в указанные моменты времени:

, .

3) Модуль среднего ускорения (формула 1.3.1):

.

4) Мгновенное ускорение в любой момент времени (формула 1.3.2):

.

Модуль мгновенного ускорения в указанные моменты времени:

, .

Ответ: , , , , , , , .

Разложим вектор изменения скорости на две составляющие: вдоль направления мгновенной скорости и перпендикулярно этому направлению , то есть по касательной к траектории движения и нормали к траектории:

.

Тогда ,

где вектор направлен по касательной к траектории, характеризует быстроту изменения скорости по модулю и называется тангенциальным ускорением; вектор направлен к центру кривизны траектории, характеризует быстроту изменения скорости по направлению и называется нормальным ускорением.

Численные значения тангенциального и нормального ускорений соответственно равны:

, , (1.3.3)

где радиус окружности, которая в окрестности данной точки совпадает с траекторией.

Мгновенное ускорение также называют полным ускорением. Численное значение полного ускорения:

. (1.3.4)

Зная зависимость ускорения от времени , можно найти зависимость скорости от времени

.

Пример 1.3.2. Машина идет по закругленному шоссе. Зависимость радиуса-вектора от времени задана уравнением: . Найти:1) мгновенную скорость машины и значение скорости в момент времени ; 2) тангенциальное и нормальное ускорение в указанный момент времени; 3) радиус кривизны шоссе.

Дано: Решение:

1) Мгновенная скорость .

Учитывая, что , а ; ; и , подставив , получим значение скорости .

2) Полное ускорение – ускорение постоянно по величине, а знак «–» указывает, что движение машины замедленное (модуль скорости уменьшается).

Тангенциальное ускорение .

При , .

По 1.3.4 , получим в момент времени .

3) Радиус кривизны окружности по 1.3.3 .

Ответ: , , , ,

Если ускорение тела не зависит от времени и остается постоянным в процессе движения , то движение называется равнопеременным (при этом и траектория движения не обязательно прямолинейная).

При равнопеременном движении скорость тела изменяется с течением времени по закону

, (1.3.5)

где скорость в начальный момент времени.

В свою очередь, зависимость имеет вид:

, (1.3.6)

где начальный радиус-вектор тела.

Величины и представляют собой начальные условия, позволяющие в любой момент времени однозначно определить векторы и .

При координатном способе описания равнопеременного движения векторным уравнениям 1.3.5 и 1.3.6 соответствуют следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы координат:

(1.3.7) (1.3.8)

где и начальные абсцисса и ордината тела при , и проекции

начальной скорости тела на координатные оси, и проекции вектора ускорения на оси и соответственно. В принципе, формулы 1.3.5 и 1.3.6 или равносильные им системы 1.3.7 и 1.3.8 позволяют решить любую задачу на движение тела с постоянным ускорением.

Наглядным примером равнопеременного движения является движение тела в поле тяготения Земли. Для решения задач в этом случае надо заменить в формулах 1.3.7 и 1.3.8 ускорение на ускорение свободного падения , сообщаемое силой гравитационного притяжения всякому телу, движущемуся в поле тяготения Земли.

Примечание: во всех примерах, если в условиях не оговорено иное, будем считать ускорение свободного падения равным .

Пример 1.3.3. Стрела выпущена из лука вертикально вверх с башни высотой со скоростью . У основания башни находится ров глубиной . Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: время подъема на максимальную высоту и максимальную высоту подъема ; время полета стрелы до падения на дно рва, скорость стрелы в момент падения и путь, который пролетела стрела за это время.

Решение:

Поскольку движение происходит только в вертикальном направлении, то достаточно одной координатной оси .

Совместим начало отсчета с точкой нахождения лука (рис. 1.3.2).

Начальные условия движения стрелы:

, .

Проекция ускорения стрелы на ось в отсутствии сопротивления воздуха равна , т.к. вектор направлен вертикально вниз противоположно направлению координатной оси.

Вторые уравнения систем 1.3.7 и 1.3.8 с учетом начальных условий имеют вид: и .

Пусть при стрела находится в наивысшей точке подъема. Это значит, что и (стрела из точки 0 будет подниматься вверх до тех пор, пока ее скорость не станет равной нулю).

Получаем откуда и .

Пусть при стрела упала в ров. В этот момент и уравнение движения имеет вид:

.

Откуда для получаем , где первое слагаемое – время подъема, второе – время падения. Отрицательный корень физического смысла не имеет, следовательно, время полета стрелы

.

Уравнение с учетом найденного значения имеет вид

,

т.е. скорость стрелы в момент падения направлена вертикально вниз – ее проекция на отрицательна.

Путь , пройденный стрелой за время полета, складывается из двух участков: подъема до высшей точки траектории и падения с высшей точки траектории в ров:

.

Ответ: ; ; ; ; .

Пример 1.3.4. Два тела брошены вертикально вверх с поверхности земли из одной точки вслед друг за другом с интервалом времени , с одинаковыми начальными скоростями . Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, через сколько времени они

«встретятся»? Прокомментировать решение для .

Дано: Решение:

Направим ось вертикально вверх, начало отсчета поместим в точку бросания. Отсчет времени будем вести с момента бросания первого тела. Начальные условия движения тел: 1) , , ; 2) , , . Проекции ускорений тел при отсутствии сопротивления воздуха равны: . Уравнения движения тел в проекциях на ось с учетом начальных условий имеют вид: , .

Условие «встречи»: , то есть .

Решая это уравнение относительно , находим .

Проанализируем полученное выражение при .

Время полета тела, брошенного вертикально (пример 1.3.3) вверх, до наивысшей точки подъема равно , т.е. общее время полета равно . Если , то . Это означает, что сначала упадет на землю первое тело, а только затем будет брошено вверх второе. Иными словами, тела «встретятся» в точке бросания.

Ответ: .

Пример 1.3.5. Мяч бросили с башни высотой над поверхностью земли, сообщив ему начальную скорость , направленную горизонтально. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить 1) время полета мяча до его падения на землю; 2) дальность полета мяча; 3) скорость мяча в момент падения; 4) радиус кривизны траектории мяча через после начала движения.

Дано: Решение:

Направим оси прямоугольной системы координат так, как показано на рис. 1.3.3. Начало отсчета поместим на поверхности земли под точкой бросания. Начальные условия:

, , , .

Проекции ускорения мяча на оси координат при отсутствии сопротивления воздуха равны:

,.

Запишем системы уравнений 1.3.7 и 1.3.8 с учетом этих значений:

(1) (2)

Пусть при мяч упал на землю. Это означает, что , и уравнения системы (2) принимают вид: Решая их, находим

В момент падения на землю система уравнений (1) принимает вид:

С учетом найденного значения получим , следовательно, скорость мяча в момент падения на землю будет равна:

.

Направление вектора скорости в любой момент времени определяется углом , который вектор составляет с горизонтом, причем

.

Полное ускорение при движении мяча в поле тяготения Земли всегда равно и направлено вертикально вниз. Поэтому .

Из рис. 1.3.3 видно, что . Учитывая, что , а полная скорость , находим радиус кривизны траектории в любой момент времени: .

В момент времени после начала движения .

Ответ: , , .

Пример 1.3.6. Снаряд выпущен из пушки с начальной скоростью под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) время подъема снаряда на максимальную высоту ; 2) наибольшую высоту подъема снаряда ; 3) дальность полета снаряда ; 4) время полета до момента падения снаряда на землю; 5) скорость в момент его падения на землю; 6) радиус кривизны траектории снаряда в ее наивысшей точке; 7) уравнение траектории снаряда.

Решение:

Направим оси прямоугольной системы координат так, как показано на рис. 1.3.4. Начало отсчета поместим в точку бросания. Начальные условия движения снаряда таковы:

, , , .

При отсутствии сопротивления воздуха , . С учетом этих значений системы уравнений 1.3.7 и 1.3.8 примут вид:

(1) (2)

Пусть при снаряд достиг максимальной высоты. В этот момент , .

Тогда вторые уравнения обеих систем примут вид:

откуда ,

.

Пусть при снаряд упал на землю. В этот момент , .

Тогда система (2) будет иметь вид: откуда

и .

Скорость снаряда в любой момент времени равна . Учитывая, что в момент падения на землю система (1) примет вид

подставим в нее найденное значение :

Таким образом, скорость снаряда в момент падения его на землю будет равна

.

Радиус кривизны траектории снаряда в наивысшей точке траектории , где скорость в наивысшей точке траектории. Учитывая, что в наивысшей точке траектории и , получаем и

.

Уравнение траектории можно получить, исключив из системы (2) время :

.

График траектории представляет собой участок параболы, ветви которой направлены вниз.

Ответ: , , , , , , .

Дата добавления: 2014-01-20