Закон сохранения импульса. Центр масс системы

Совокупность материальных точек и тел, рассматриваемых как единое целое, называется механической системой.

Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называют внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называют внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называют замкнутой (изолированной).

Рассмотрим механическую систему, состоящую из тел, масса и скорость которых соответственно равны и

Пусть равнодействующая всех приложенных к данному телу внутренних сил, равнодействующая приложенных к данному телу внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел механической системы:

.

Сложим почленно эти уравнения:

.

Согласно третьему закону Ньютона силы, действующие между телами системы,

равны и противоположно направлены, поэтому геометрическая сумма внутренних сил равна нулю и .

Векторная сумма импульсов тел, входящих в систему, , называется импульсом системы. Таким образом,

(2.5.1)

Следовательно, закон изменения импульса гласит: скорость изменения импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В замкнутой системе , поэтому и, следовательно, .

Последнее выражение является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы есть величина постоянная, т.е. не изменяется с течением времени.

Хотя закон сохранения импульса получен как следствие законов Ньютона, он справедлив не только в классической физике, но и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). В силу своей универсальности закон сохранения импульса является фундаментальным законом природы. Отметим, что импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма внешних сил равна нулю.

Задачу на закон сохранения импульса рекомендуется решать по следующему алгоритму:

1. Сделать чертеж. На чертеже указать направление скорости движения тел, входящих в систему.

2. Записать закон сохранения импульса в векторной форме , где импульс системы тел до взаимодействия, импульс системы тел после взаимодействия.

3. Выбрать направление координатных осей Ох и Оу и спроецировать на них записанное ранее векторное уравнение.

4. Решить полученное уравнение (систему уравнений).

Пример 2.5.1. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью , укреплено орудие. Масса платформы с орудием . Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой в ылетает из ствола под углом к горизонту. Определите скорость снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в раза.

Решение:

По закону сохранения импульса . В проекции на ось Ох, расположенную горизонтально (рис. 2.5.1), получаем: , откуда и .

Ответ: .

В классической механике Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.

Центром масс системы (или центром инерции) называется воображаемая точка C, положение которой характеризуется распределением масс этой системы.

Ее радиус-вектор равен:

, (2.5.2)

где и масса и радиус-вектор -ой материальной точки, входящей в систему,

число материальных точек, масса системы. Учитывая, что , координаты центра масс системы

, , . (2.5.3)

Скорость центра масс системы .

Учитывая, что , а , где импульс системы,

.

Таким образом, импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Подставим это выражение во второй закон Ньютона:

.

Следовательно, центр масс движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует результирующая внешних сил, приложенных к системе.

Для замкнутой системы , следовательно, . Таким образом, центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо покоится(теорема о движении центра масс).

Пример 2.5.2. Шесть маленьких шариков массами , , , , и закреплены на невесомом стержне на равных расстояниях друг от друга. На каком расстоянии от середины стержня находится центр масс системы?

Решение:

Поместим начало координат в центр стержня.

Координата центра масс (по формуле 2.5.3):

.

Координаты шариков равны:

Следовательно, .

Ответ: .

Пример 2.5.3. Материальные точки массой каждая расположены в вершинах треугольника со сторонами , и . Найти положение центра масс системы.

Решение:

Введем систему координат. Начало координат совместим с одной из точек. Данный треугольник является прямоугольным (рис. 3.5.3). Частица имеет координаты , частица имеет координаты , частица имеет координаты .

Координаты центра масс (по формуле 2.5.3)

,

Ответ: координаты точки .

Пример 2.5.4. Определить положение центра масс од нородного конуса высотой .

Решение:

Выберем систему координат так, чтобы начало отсчета совпадало с вершиной конуса, а ось была направлена вдоль оси симметрии. При этом . Центр масс будет располагаться на оси симметрии.

Пусть конус имеет радиус основания . Чтобы найти координату , разобьем конус на бесконечное число цилиндров малой высотой .

Масса каждого такого цилиндра равна , где плотность вещества однородного конуса. Получаем .

Из подобия треугольников, образованных образующей конуса, осью и радиусами и , получаем: , следовательно, и .

Масса конуса , поэтому .

Ответ: .

Глава 3. Работа и энергия

Дата добавления: 2014-01-20