Формула Фробениуса

Пусть матрица A имеет блочный вид . Припишем к ней справа единичную матрицу и найдём обратную к матрице A. Для этого выполним следующие действия:

• Умножим (слева) на матрицу (конечно в предположении существования обратной матрицы). В результате получим матрицу .
• Вычтем из второй блочной строки первую, умноженную на матрицу (на языке матриц мы умножим слева на матрицу ). В результате получится матрица .
• Умножим слева на матрицу . В результате получим матрицу
• Вычтем из первой блочной строки вторую, умноженную на матрицу (т.е. умножим слева на матрицу ). В результате получится матрица

Тем самым найдена обратная матрица к матрице A. Формула называется формулой Фробениуса. Использование формулы Фробениуса позволяет уменьшить количество арифметических операций при вычислении обратной матрицы.

Обозначим через и число арифметических операций необходимых, соответственно, для обращения и умножения матриц n-го порядка. Имеет место рекуррентная формула . Положим , тогда при умножении матриц по формулам Штрассена . Применив формулу k раз (учитывая ) получим . Подставив вместо k его выражение через n () получим .

Дата добавления: 2014-01-20