Барометрическая формула. Распределение Больцмана. При выводе основного уравнения МКТ предполагалось, что на молекулы газа не действуют внешние силы, поэтому молекулы равномерно распределены по объему

При выводе основного уравнения МКТ предполагалось, что на молекулы газа не действуют внешние силы, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул – с другой, приводят к стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает. Зависимость давления газа от высоты дает барометрическая формула: , гдедавление газа на высоте над уровнем моря, давление газа на уровне моря (его считают равным ), молярная масса газа. Из этой формулы следует, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу можно преобразовать, если воспользоваться формулой :

, (8.3.1)

где концентрация молекул на высоте , концентрация молекул на уровне моря. Поскольку , а , то . Учитывая, что потенциальная энергия молекулы в поле тяготения Земли, то

. (8.3.1’)

Это выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана справедливо в любом внешнем потенциальном поле.

Пример 8.3.1. Пылинки массой взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более, чем на 5 %. Температура воздуха во всем объеме одинакова и равна .

Решение:

При равновесном распределении пылинок концентрация зависит только от координаты по оси Z, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно применить формулу Больцмана . В однородном поле силы тяжести и . Поскольку изменение концентрации мало, то без существенной погрешности при дифференцировании заменяем на .

Следовательно, , откуда , где знак «-» указывает, что положительным изменениям координат соответствует уменьшение концентрации .

Таким образом, .

Ответ: .

Пример 8.3.2. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление , благодаря чему летчик считает высоту полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с до . Какую ошибку в определении высоты допустил пилот? Давление у поверхности Земли считать нормальным.

Решение:

Барометр может показывать неизменное давление при различных температурах Т₁ и Т₂ только в том случае, если самолет находится не на высоте , которую летчик считает неизменной, а на другой высоте . Запишем барометрическую формулу для этих двух высот: и .

Найдем отношение и прологарифмируем обе части полученных равенств: и .

Выразим высоты и , и найдем их разность:

.

Знак «-» означает, что и, следовательно, самолет снизился на 28,7 м по сравнению с предполагаемой высотой.

Ответ: .

Дата добавления: 2014-01-20