График функции распределения

Доказанные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины. График расположен в полосе, ограниченной прямыми у = 0, у = 1 (первое свойство).

При возрастании х в интервале (а, b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх» (второе свойство).

Рис. 9.3

При х £ а ординаты графика равны нулю; при x ³ b ординаты графика равны единице (третье свойство). График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис. 9.3.

Замечание. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Пример. Дискретная случайная величина X задана таблицей распределения

X
p	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения и вычертить ее график.

Решение. Если х £ 1, то F (х) = 0 (третье свойство).

Если 1 < х £ 4, то F (х) = 0,3. Действительно, X может принять значение 1 с вероятностью 0,3.

Если 4 < х £ 8, то F (х) = 0,4. Действительно, если х ₁ удовлетворяет неравенству 4 < х ₁ £ 8, то F (х ₁) равно вероятности события X < х ₁, которое может быть осуществлено, когда X примет значение 1 (вероятность этого события равна 0,3) или значение 4 (вероятность этого события равна 0,1). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события X < х ₁ равна сумме вероятностей 0,3 + 0,1 = 0,4.

Если х > 8, то F (х) = 1. Действительно, событие X £ 8 достоверно, следовательно, его вероятность равна единице.

Рис. 9.4

Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

График этой функции приведен на рис. 9.4.

Пример. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти функцию распределения числа белых шаров в выборке F (х) и построить ее график.

Решение. Будем задавать различные значения х и находить для них F (х) = Р (X < x):

1. Если х £ 0, то, очевидно, F (х) = Р (X < 0) = 0;

2. Если 0 < х £ 1, то F (х) = Р (X < х) = Р (X = 0) = 1/56;

3. Если 1 < х £ 2, то F (х) = Р (X = 0) + Р (X = 1) = 1/56 + 15/56 = 16/56;

4. Если 2 < х £ 3, то F (х) = Р (X = 0) + Р (X = 1) + Р (X = 2)= 1/56 + 15/56 + 30/56 = 46/56;

5. Если х > 3, то F (х) = Р (X = 0) + Р (X = 1) + Р (X = 2) + Р (X = 3) = 46/56 + 10/56 = 1. Итак,

Строим график F (х), рис. 9.5.

Рис. 9.5

Как видно, функция распределения дс.в. Х есть разрывная, со скачками p_i в точках x_i, функция, «непрерывная слева» (при подходе к точке разрыва слева функция F (х) сохраняет значение). Ее график имеет ступенчатый вид.

Отметим, что пользуясю равенством (9.5), функцию распределения можно сразу записать в виде

Дата добавления: 2014-01-20