Нормальное распределение

Нормальный закон («закон Гаусса») играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон наиболее часто встречается на практике.

Определение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

.

Видно, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и s. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, s – среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,

.

Введем новую переменную z = (x – а)/ s. Отсюда x = s z + a, dx = s dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

.

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно а (интеграл Пуассона ). Итак, М (X) = а, т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М (X) = а, имеем

.

Введем новую переменную z = (x – а)/ s. Отсюда x – a = s z, dx = s dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

.

Интегрируя по частям, положив u = z, , найдем

.

Следовательно,

.

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру s.

Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и s (s > 0).

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а = 0 и s = 1. Например, если X – нормальная величина с параметрами а и s, то U = (Х – а)/s – нормированная нормальная величина, причем M (U) = 0, s(U) = 1.

Плотность нормированного распределения

.

Эта функция табулирована (см. приложение 1).

Замечание 2. Функция F (х) общего нормального распределения

.

а функция нормированного распределения

.

Функция F ₀(x) табулирована. Легко проверить, что

.

Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0, х) можно найти, пользуясь функцией Лапласа . Действительно,

.

Замечание 4. Учитывая, что , и, следовательно, в силу симметрии j(х) относительно нуля

, а значит, и Р (– ¥ < X < 0) = 0,5,

легко получить, что

F ₀(х) = 0,5 + Ф(х).

Действительно,

.

Дата добавления: 2014-01-20