Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Уже известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения f (х), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), такова:

.

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна

.

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную z = (x – а)/s. Отсюда x = s z + a, dx = s dz. Найдем новые пределы интегрирования. Если х =a, то z = (a – а)/s; если х = b, то z = (b – а)/s.

Таким образом, имеем

Пользуясь функцией Лапласа окончательно получим

. (11.4)

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. Воспользуемся формулой (11.4). По условию, a = 10, b = 50, а = 30, s = 10, следовательно,

.

По таблице приложения 2 находим Ф(2) = 0,4772. Отсюда искомая вероятность

Р (10 < X < 50) = 2×0,4772 = 0,9544.

Дата добавления: 2014-01-20