Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым (центральная предельная теорема): если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммарную ошибку».

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения.

Приведем формулировку центральной предельной теоремы, которая устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть Х 1, Х 2,..., Хn – последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию:

.

Введем обозначения: . Обозначим функцию распределения нормированной суммы через

.

Говорят, что к последовательности Х 1, Х 2,..., применима центральная предельная теорема, если при любом х функция распределения нормированной суммы при n ® ¥ стремится к нормальной функции распределения:

.

В частности, если все случайные величины Х 1, Х 2,... одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин Хi (i = 1, 2,...) конечны и отличны от нуля. А. М. Ляпунов доказал, что если для d > 0 при n ® ¥ отношение Ляпунова

.

стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последовательности Х 1, Х 2,... применима центральная предельная теорема.

Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы оказывало на сумму ничтожное влияние.

Замечание. Для доказательства центральной предельной теоремы А.М. Ляпунов использовал аппарат характеристических функций. Характеристической функцией случайной величины X называют функцию .

Для дискретной случайной величины X с возможными значениями xk и их вероятностями рk характеристическая функция

.

Для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения f (х) характеристическая функция

.

Можно доказать, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Правило трех сигм | 
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 1153; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.