Градиент скалярного поля потенциала

Понятие градиента потенциала позволяет рассчитать составляющие E_x, E_y, E_z вектора электрического поля в каждой точке пространства по значениям поля потенциала.

Как функция координат потенциал U(x,y,z) является полем скалярной величины U. В этом поле имеются поверхности, на которых значения потенциала U не меняются, т.е. являются постоянными величинами. Такие поверхности называют эквипотенциальными. Так как между отдельными точками эквипотенциальной поверхности нет разности потенциалов, то очевидно работа сил поля при перемещении зарядов вдоль такой поверхности будет равна нулю. Это означает, что проекции сил поля на эту поверхность будут равны нулю. Следовательно, в каждой точке эквипотенциальной поверхности силовые линии электростатического поля расположены по отношению к ней перпендикулярно, рис. 3.3.

а) б)

Рис. 3.3. Эквипотенциальные поверхности (a), к определению градиента и
производной по направлению (б)

Градиентом потенциала в точке А(x,y,z) назовем производную функции U по линии, направленной в точке А вдоль вектора нормали :

. (3.8)

Градиент потенциала – это вектор, направленный в каждой точке перпендикулярно эквипотенциальной поверхности, т.е. в направлении вектора напряженности поля .

По абсолютной величине градиент потенциала равен скорости изменения потенциала в направлении . Из рис. 3.3 видно, что

.

Тогда

. (3.9)

Функцию называют производной по направлению.

Из этого выражения видно, что производная по любому направлению, отличному от направления нормали, меньше по абсолютному значению производной по направлению нормали. Таким образом, градиент – это векторная величина, которая соответствует направлению наиболее быстрого изменению потенциала. Производная в направлении нормали имеет наибольшее значение. Это хорошо видно на рис. 3.3 б, где показана бесконечно малая окрестность точки А. В этой окрестности эквипотенциальные поверхности и практически параллельны и изменения потенциала на интервалах и одинаковы. Следовательно,

.

Найдем теперь производные потенциала в точке А по направлению каждой из координатных осей x, y и z:

, ,

.

Видно, что эти производные являются проекциями градиента (как векторной величины) по оси x, y, z, т.е.

, (3.10)

где

, , .

По абсолютной величине

. (3.11)

На основании формул (3.2 -3.4)

, ,

и

. (3.12)

Таким образом, установлен очень важный факт, заключающийся в том, что напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком. Расписывая это выражение по координатам, находим, что

, (3.13)

или

. (3.14)

На основании (3.2), учитывая, что , получим:

. (3.15)

С учетом (3.12) также получим:

, (3.16)

или

. (3.17)

Последнее уравнение называют уравнением Пуассона. В развернутом виде

. (3.18)

Если в исследуемом объеме отсутствуют заряды, то

, (3.19)

или

. (3.20)

Это уравнение называют уравнением Лапласа.

Полученные уравнения позволяют решить следующую очень важную задачу. Как, зная распределение зарядов в некоторой области определить напряженности полей E_x, E_y, E_z в каждой точке пространства с координатами x, y, z. Из анализа выражения (3.15) следует, что решить непосредственно уравнение

относительно трех неизвестных E_x, E_y, E_z нельзя.

Однако можно решить дифференциальные уравнения в частных производных Пуассона относительно одной неизвестной – потенциала U, а затем найти составляющие поля из уравнения (3.12). Что касается уравнения Лапласа, то, казалось бы, что при отсутствии зарядов его нет смысла рассматривать. Однако его решения очень важны тогда, когда можно задать граничные условия. В этом случае оно дает единственное решение для свободного пространства, если заданы значения полей на некоторой границе.

Дата добавления: 2014-01-20