Проверка статистических гипотез, доверительные интервалы

Проверка значимости коэффициентов регрессии.

Как и в случае парной регрессии можно показать, что вектор оценок имеет нормальное распределение со средним и матрицей ковариаций , т е.

.

Таким образом, случайные величины

и имеют распределение Стьюдента с (n-р-1) степенями свободы. В общем случае проверяются гипотезы: Н₀: а = а ₀ или о значимости Н₀: а = 0

Н₀: b = b₀ Н₀: b = 0

Проверка состоит в следующем:

- если , то нет оснований отвергать Н₀ (р - число факторов);

- если , то Н₀ отвергают.

Соответствующие доверительные интервалы для оценок коэффициентов регрессии (): () и ().

Пример. , k = n – p – 1 = 7-2-1 = 4, t_kp(0,05;4) = 2,78.

1) H₀: , Н₀ отвергается и

значим при 5 - % -ом уровне значимости.

Доверительный интервал: (0,698; 1,748).

2) H₀: , Н₀ принимается и

не значим.

Доверительные интервалы.

Наряду с интервальным оцениванием коэффициентов регрессии весьма важным для оценки точности определения зависимой переменной является построение доверительного интервала для функции регрессии или условного математического ожидания зависимой переменной М_х(y). Обобщая соответствующие выражения на случай множественной регрессии, можно получить доверительный интервал:

,

, - стандартная ошибка, .

Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной y_i примет вид: , .

Доверительный интервал для параметра во множественной регрессии строится аналогично парной модели: .

Пример. Известно: S² = 0,4175; S = 0,64614;

; .

По данным примера оценить сменную добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 10 м и уровнем механизации 6,5 %. Найти 95 % -й доверительный интервал для индивидуального и среднего значений и интервальную оценку дисперсии при .

1) (т).

2) , ,

=.

, .

3) ; .

.

4) ; ; ; ;

;

;

; .

Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции.

Для определения статистической значимости R² проверяется гипотеза

Н₀: R² = 0 с помощью статистики F = .

Если F < F_кр(), то Н₀ нет оснований отвергать или R² статистически не значим, не значимо и уравнение в целом. В противном случае – уравнение и R² значимы.

Пример. . F_kp (0,05;2;4) = 6,94.

Т.к. F > F_kp, то уравнение значимо.

Оценивается не только значимость уравнения в целом, но и значимость фактора, дополнительно включенного в модель. Мерой оценки включения фактора в модель служит частный F- критерий, F_xi.

Если оценивается значимость влияния фактора х_р после включения в модель факторов х₁, х₂,…,х_р-1, то формула частного F- критерия примет вид:

.

В общем виде для x_i .

С помощью частного F- критерия можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор вводится в уравнение последним. Зная F_xi можно определить t-критерий: . Взаимосвязь частного коэффициента корреляции, частного F-критерия и t-критерия для коэффициентов чистой регрессии можно использовать в процедуре отбора факторов (на каждом шаге исключается фактор с наименьшим незначимым значением F_xi или t_bi).

Дата добавления: 2014-01-20