Уравнение движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то по (1.4.3.) . Если тело абсолютно твердое, то , т.к. в процессе движения форма и размеры тела не изменяются и , откуда получим выражение, связывающее момент силы и момент инерции: (1.4.10)

- основное уравнение динамики вращательного движения (при описании вращательного движения играет такую же роль, второй закон Ньютона при поступательном).

Выражение (1.4.10) можно получить, если в формуле (1.4.2”)ввести замену.

Из полученного соотношения видно, что момент инерции тела характеризует инерциальные свойства тела при вращательном движении (такие как масса при поступательном). Мы получили, что угловое ускорение таким же образом связано с моментом силы и моментом инерции , каким тангенсальное ускорение связано с силой и массой точки. При таком описании вращательного движения роль силы играет момент силы, роль массы – момент инерции. Т.о., материальные точки с разными массами эквивалентны в смысле приобретаемого ими углового ускорения, если равны их моменты инерции.

а) в общем случае:, (1.4.10)

гдемомент силы, действующей на тело в течение времени , момент импульса;

б) в случае постоянных момента силы и момента инерции ; (1.4.11)

в) в случае постоянного момента инерции (1.4.12)

г) уравнение динамики тела, вращающегося относительно оси OZ , где и - проекции моментов импульса и внешних сил на ось вращения.

Пример 1.4.6. Тонкий стержень длиной 50 см и массой 400 г вращается с угловым ускорением 3 рад/с² около оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к его длине. Определить вращающий момент М.

Решение: ; ;

Пример 1.4.7. Вал в виде сплошного цилиндра массой 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

Решение: Равнодействующая сил и вызывает равноускоренное движение гири ; ; ; ; ; ;

Пример 1.4.8. Вал массой и радиусом вращался с частотой . К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой , под действием которой вал остановился через . Определить коэффициент трения.

Решение:

, , , , и .Получаем

Пример 1.4.9. На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, массой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Определить линейное ускорение оси цилиндра, если цилиндр а) сплошной; б) полый, тонкостенный.

Решение: Равнодействующая сил и вызывает равноускоренное движение цилиндра ; ; ; ;

1); ;

2) ;

Пример 1.4.10. Через блок в виде диска, имеющего массу 80 кг, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами 100 кг и 200 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.

Решение:

; ; ; ; ;

; . Т.к.и , то , откуда.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется – фундаментальный закон, связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью.

а) в общем виде , (1.4.13)

где момент импульса тела с номером , входящего в состав системы;

б) для двух тел , где моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия, те же величины после взаимодействия;

в) для однородного тела, момент инерции которого может

меняться , где начальное и конечное значения момента инерции, начальная и конечная угловые скорости тела.

Сохранение момента количества движения может быть продемонстрировано с помощью человека, стоящего на скамеечке, которая может без трения вращаться вокруг вертикальной оси («скамья Жуковского»). Пусть человек стоит на такой скамеечке и держит в расставленных руках гири. Скамеечка вместе с человеком вращается с угловой скоростью . При этом человек имеет определенный момент количества движения , который должен сохраниться при равенстве нулю момента внешних сил. Если человек опустит руки, то его момент инерции уменьшится, в результате чего возрастет угловая скорость его вращения . Если человек снова поднимет руки, то угловая скорость снова примет прежнее значение.

Пример 1.4.4. Человек стоит на скамейке Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Скамейка с человеком вращается с частотой . С какой частотой будет вращаться скамейка, если человек повернет стержень так, чтобы он принял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамейки , длина стержня , его масса .

Дано: ,,  

Решение:

, где и - момент инерции тела человека и угловая скорость скамейки и человека с вертикальным стержнем, и - момент инерции тела человека и угловая скорость скамейки и человека с горизонтальным стержнем. . .

, где моменты инерции человека и стержня в руках человека. , . Получаем

Ответ:

Дата добавления: 2014-01-11