В идеально проводящем экране

Дифракция плоской волны на щели

Основная трудность решения задач дифракции волн заключается в том, что полное поле во всем пространстве есть сумма падающего и рассеянного полей:

, (11)

. (12)

Рисунок 4 – Дифракция плоской волны на щели в проводящем экране

Рассмотри задачу о дифракции плоской электромагнитной волны на идеально проводящем экране, в котором имеется щель шириной 2a, бесконечно протяженная вдоль оси y рис.4.

Поляризация падающей волны такова, что в выбранной системе координат электрический вектор перепендикулярен кромкам щели. Падающая волна перемещается слева направо, существуя в полупространстве z > 0.

Как было изложено в предыдущих лекциях, что электромагнитное поле в однородной среде без источников является замкнутым,

, (13)

. (14)

И подчиняется векторным уравнениям Гельмгольца

, (15)

. (16)

Применительно к поставленной задаче из физических соображений ясно, что на достаточно большом удалении от возбуждающей щели силовые линии электрического вектора в полупространстве z > 0 по форме будут напоминать дуги окружностей с центрами в точке (x = 0, y = 0).

Итак, нам нужно найти решение скалярного уравнения Гельмгольца

(17)

в полупространстве z > 0, удовлетворяющее определенным граничным условиям на плоскости z = 0.

Граничные условия для искомого поля таковы:

, (18)

. (19)

Применяя к уравнению метод разделения переменных будем искать его решение в виде

. (20)

Частным решением уравнения Гельмгольца (17) имеющим вид произведения двух функций, являются

(21)

При любых значениях амплитудного коэффициента A и параметра.

Из частных решений вида (21) можно построить общий интеграл

(22)

Весовую функциюнужно подобрать так, чтобы удовлетворить граничным условиям (18) и (19). Подставив в формулу (22) значение z = 0, находим, что

. (23)

Функцияпредставляет собой преобразование Фурье от распределения поля в плоскости экрана. Чтобы найти эту функцию, следует обратить формулу (23) по Фурье.

. (24)

В рассматриваемом случае

. (25)

Таким образом получено интегральное представление волнового поля в полупространстве за экраном:

. (26)

Данный интеграл удобно вичислить методом стационарной фазы. Введем систему координат , , тогда

. (27)

Точка стационарной фазы служит корнем уравнения.

, (28)

откуда

. (29)

Выполнив предельный переход в формуле (29) убеждаемся, что при сделанном предположении точка стационарной фазы приближенно имеет координату . Вторая производная от показателя экспоненциальной функции, входящей в подинтегральное выражение формулы (26) равна

. (30)

. (31)

Данное выражение описывает цилиндрическую волну, о чем свидетельствует убывание амплитуды поля по закону . Угловая зависимость выраженна тем сильнее, чем больше отношение ширины щели к длинне волны. Интенсивность излучения максимальна в направлении .

Угловая зависимость дифракционного поля щели имеет лепестковый характер рис. 2. Вокруг напрвления формируется основной лепесток, по обе стороны от которого возникают симметричные боковые лепестки рассеянного поля.

Дата добавления: 2014-01-20