Математические и геометрические модели

Геометрический объект, изображение которого создается, как правило, можно представить через конечное множество базовых геометрических фигур, связанных между собой определенными соотношениями. Базовая геометрическая фигура – это фигура, рассматриваемая для данного геометрического объекта как неделимая составная часть с известными геометрическими параметрами. Любая базовая геометрическая фигура изображается с помощью точек, прямых, отрезков прямой, многоугольников, отрезков кривых, объемных фигур произвольных форм. Для отображения разнообразных свойств объектов (размеры, форма, положение в пространстве и др.) применяются разнообразные геометрические модели. Модели используются для представления реальных абстрактных предметов и явлений не только с целью формирования их изображений, но и в общем случае для представления их структуры и поведения. Они обеспечивают возможность имитации, проверки и предсказания поведения моделируемых явлений с целью понимания смысла, визуализации, экспериментирования и обучения. Будем рассматривать такие модели, которые пригодны для графической интерпретации. Среди обычных типов моделей, которые использует машинная графика, выделим следующие:

· организационные модели: структуры организаций, алгоритмов, классификаций;

· количественные модели: экономические; финансовые, социологические, демографические, климатические, химические, физические и математические системы;

· геометрические модели: технические и архитектурные конструкции, транспортные средства, молекулы и другие физические структуры.

С моделями необязательно должна ассоциироваться чисто геометрическая информация. А в тех случаях, когда в модели содержится чисто геометрическая информация, совершенно необязательно какое-либо конкретное представление этой геометрии в графическом виде, поскольку за пользователем остается право выбора точки зрения и проекции.

Наиболее важной проблемой является определение, какую геометрическую и негеометрическую информацию следует включать в модель и как ее представлять, кодировать. Среди составных частей, которые нужно учитывать в модели, можно назвать следующие:

· основные элементы данных и их взаимоотношения;

· пространственное размещение и форма компонент (геометрия объектов), а также информация о внешнем виде – цвет, фактура поверхности, раскраска;

· связность компонент (топология);с

· специфические для рассматриваемого применения данные (электрические или технические характеристики);

· обрабатывающие алгоритмы.

Таким образом, модель представляет собой описание компонент и процессов, которые совместно определяют структуру и поведение моделируемого объекта с заданной или возможной степенью адекватности.

Для отражения многообразных свойств объектов применяются различные геометрические модели: структурные, рецепторные, аналитические, каркасные составные.

Структурные модели. В процедурах, относящихся к конструкторскому аспекту проектирования, преобладает использование моделей, отражающих только структурные свойства объекта – геоформу, размеры, взаимное расположение элементов в пространстве. Такие модели называются структурными.

Структурные модели – это необходимая составная часть более подробных геометрических моделей, сложных геометрических объектов, состоящих из конечного числа базовых фигур и представляются графом. Наглядное представление о графе можно получить, если представить себе некоторое множество точек плоскости X, называемых вершинами, и множество направленных отрезков U, соединяющих все или некоторые из вершин и называемых дугами (рис. 3.3). Множество вершин (1, 2, 3, …) соответствует базовым геометрическим элементам, множество (U₁₂, U₂₃, …) ребер – связям между элементами. Граф может отражать, например, метрические свойства моделируемого объекта, поэтому его можно использовать для решения многих задач геометрического проектирования: разработки структурных и кинематических схем в задачах конструкторского и технологического синтеза; размещения и компоновки элементов различных конструкций.

Рецепторные модели описывают геометрический объект в пространстве рецепторов. Область рецепторов формируется множеством сечений объекта, перпендикулярных координатным осям. В координатных осях получается прямоугольная решетка, каждая клетка которой рассматривается как отдельный рецептор, который может иметь состояние «0» или «1». Рецептор считается возбужденным (1), если он включается в контур плоской или пространственной области объекта. Плоский или пространственный геометрический объект можно описать двухмерной или трехмерной матрицей, состоящей из «0» и «1». Рецепторные модели могут описывать любые геометрические объекты, точность описания определяется количеством рецепторов. Например, модель приемника света представляет собой прямоугольный участок (рис. 3.3), разбитый без промежутков на I x J прямоугольных полей рецепторов со сторонами, параллельными сторонам участка. Расстояние между центрами соседних рецепторов вдоль оси X – c’, вдоль оси Y – d’, тогда номер рецептора, полю которого принадлежит точка изображения с координатами x, y

I = int(1 + I/2 – y/d’)

J = int(1 + J/2)+ x/c’)

При симметричном расположении рецепторов относительно осей координат последние выражения справедливы как для четного, так и для нечетного числа строк I и столбцов J.

Рецепторная модель может отображать и поле печатной платы интегральной схемы, покрытой системой соединений, в задачах трассировки соединений.

В тоже время эти модели требуют больших затрат памяти и времени на обработку.

Дата добавления: 2014-01-20