Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Моделирование сплошными геометрическими конструкциями




Ячеечные методы. Ограниченный участок пространства, охватывающий весь моделируемый объект, считается разбитым на большое число дискретных кубических ячеек. В простейшем случае размеры ребра куба равны единице измерения длины. Моделирующая система должна просто записать информацию о принадлежности или отсутствия таковой телу объекта. Структура данных представляется трехмерной матрицей, в которой каждый элемент соответствует пространственной ячейке. С одной стороны здесь все просто, а с другой – недостатки, связанные с большим объемом памяти, требуемой для описания объекта с большим разрешением.

Аналитические модели. Модели этого типа наиболее компактны и представляют собой описание ограничивающих контуров или поверхностей геометрической фигуры аналитическими уравнениями в полярной или прямоугольной системе координат.

Явная форма описание плоских кривых в координатах XY. Простейшим способом является явная форма описания y=f(x). Она удобна для описания и кривых, но не пригодна для проведения аналитических преобразований, когда функция неоднозначна.(Окружность, или кривая имеет вертикальные касательные. Например, прямая параллельная оси Y не имеет явного представления, так как производная df/dx=¥). Поэтому при геометрическом моделировании явная форма описания практически не применяется.

От этих недостатков свободна неявная форма описания кривых f(x,y)=0. Например, для той же окружности уравнение будет иметь вид x2+y2-a2=0. Неявные уравнения кривых позволяют легко осуществлять аналитические преобразования и расчеты, но они не приспособлены для непосредственного вычисления точек на кривой и отображения их на плоскости, так как в общем случае приходится решать нелинейные уравнения итерационными способами.

Параметрическая форма описания позволяет решать проблему отображения кривых, описываемых неявно. Например, кривую на рисунке 3.4 можно представить как движение точки А, задаваемой вектором положения r, причем r является функцией времени, то есть r=r(t). Тогда путь задаваемый и пройденный точкой может быть любой кривой на плоскости. В координатной форме уравнения кривой будут иметь вид x=(t) и y = (t). В качестве параметра функции можно использовать любой скалярный параметр u. Для той же окружности параметрические уравнения можно записать в виде x=acost, y=asint, где t принимает значения от 0 до 2p., а уравнение прямой параллельной оси Y будет x=c,y=u., где u изменяется в пределах - ¥ < u <¥. Поскольку параметр измеряется произвольно, кривая не имеет единственного параметрического представления.

Аналитические модели широко применяются при подготовке управляющих программ для станков с ЧПУ, при проектировании геометрических объектов сложной формы, при раскрое материалов.

Каркасные (кинематические) геометрические модели применяются при описании объемных фигур. Здесь рассматривают два способа реализации.

Первый способ получения каркасных моделей подразумевает, что поверхность образуется непрерывным перемещением линии, называемой образующей, в пространстве по некоторому закону. Образующая при перемещении пересекает ряд неподвижных линий, называемых направляющими. Наряду с направляющими могут использоваться условия параллельности, касания и другие отношения образующих с направляющими. Множество точек или линий, определяющих поверхность и принадлежащих ей, называется каркасом. В памяти ЭВМ при отображении поверхности на выходных графических устройствах она задается некоторым количеством линий, называемым дискретным каркасом поверхности (скелетной моделью поверхности)). На рисунке 3.5 приведена каркасная модель куба. Каркасная модель, как видно из рисунка, представляет собой скелетное описание трехмерного объекта. Она не имеет граней и состоит только из точек, отрезков и кривых, описывающих ребра объекта. Возможность создания каркасных моделей предоставляется в любом месте трехмерного пространства.

Второй способ получения каркасных поверхностей основан на понятии определителя поверхности. Совокупность условий, определяющих каркасную модель поверхности, называется определителем поверхности. Различают геометрическую и аналитическую части определителя. Геометрическая часть включает некоторое множество фигур, сохраняющих положение, форму и размеры. Аналитическая часть определителя представляет алгоритм построения точек и линий поверхности, занимающих в ней переменное положение. Например, сфера может быть образована вращением окружности около прямой, проходящей через центр окружности. В геометрическую часть определителя поверхности войдет уравнение окружности, а аналитическую – закон перемещения фигуры.

Частный случай каркасных моделей – модели поверхности вращения плоской кривой вокруг оси симметрии (рис. 3.6). Достаточно широкий класс машиностроительных деталей, предметов быта, архитектурных форм может быть представлен, как результат вращения кривой или ломаной линии относительно некоторой оси. Кривую линию, являющуюся линией вращения фигуры, аппроксимируют ломаной линией. Каждый отдельный участок последней становится образующей отдельного конуса, описание которого может быть как неявным, так и параметрическим в зависимости от алгоритма синтеза изображения.

Таким образом, при построении каркасных моделей геометрических объектов используются аналитические модели линий и поверхностей, выраженные в форме параметрических уравнений.

Модели объемных объектов. В практике построения изображений объемных объектов широкое распространение получили три основных типа модели объектов:

· описание объекта поверхностями,

· сплошными телами;

· каркасные модели.

Первый подход представляет объект в виде тонких поверхностей, под которыми находится пустое пространство, не заполненное материалом объекта. Эллипсоид, рассматриваемый в рамках поверхностного описания, следует ассоциировать с неразбитой скорлупой совершенно пустого внутри яйца. Описания подобного типа достаточно часто встречаются в компьютерной графике, поскольку именно в рамках этого метода конструируют полигональные поля и бикубические поверхности.

Описание сплошными телами подразумевает, что объекту или отдельному примитиву принадлежат все точки объекта – как наружные, так и внутренние. В данном случае эллипсоид следует воспринимать как однородно заполненное тело – яйцо.

Описание типа проволочной сетки заключается в представлении поверхности серией пересекающихся линий, принадлежащих поверхности объекта.

Методы описания систем сплошными телами делят на три класса:

· основанные на пространственной декомпозиции объема, содержащего моделируемый объект, на массив участков или трехмерных ячеек, которые могут заполнить тело объекта; такие методы называются ячеечными или системами пространственного заполнения;

· объект представляется как комбинация простых форм примитивов, в качестве которых могут быть использованы кубы, шары, цилиндры. Сам же объект с точки зрения геометрической структуры может быть представлен древовидной структурой, терминальными вершинами которой являются примитивы. Такие модели называют моделями геометрических сплошных примитивов;

· системы, в которых объект задается границами. Здесь объект следует описывать состоящим из поверхностей конкретного типа, которые ограничены краями, часть краев является общей для нескольких поверхностей, края пересекаются в конкретных точках.

Разработаны системы, которые используют идею разбиения ячеек на подъячейки меньшего размера. Последние применяются в случаях, когда ячейки захватывают границы объекта, и в целях повышения разрешения задействуют подъячейки, регулярно заполняющие ячейку границу.

Объемная модель объекта. Процедура геометрического моделирования предполагает наличия библиотек моделей плоских и объемных примитивов отдельных строительных блоков, поверхности которых обычно описываются функциями первого и второго порядка, что обусловлено необходимостью аналитического нахождения границы пересечения светового луча с поверхностями.

Под объемным примитивом понимается конечное пространство, ограниченное одной или несколькими функционально описанными поверхностями. Например, в качестве примитива используется пространственный объем, ограниченный плоскостями – многоугольниками.

Под плоскими примитивами будем понимать часть плоскости, ограниченную замкнутой линией, состоящей из конечного числа прямолинейных или криволинейных участков. Для примитива характерно неизменное количество ограничивающих его тело поверхностей и стандартный вид функций, описывающих эти поверхности. Изменение пространственного расположения и ориентации примитива и изменение его формы достигается за счет варьирования параметрами функций.

Пространственные комбинации примитивов. При решении практических задач по синтезу изображений реальных объектов достаточно часто приходится сталкиваться с проблемой формирования моделей, в состав которых входят пространственные комбинации примитивов. Комбинации примитивов создают более сложные формы, обычно называемые блоками, которых в дальнейшем используют для построения изображения функциональной детали или целого узла. При комбинировании примитивов между ними допускаются следующие пространственные логические операции взаимодействия: “+” – объединения; “-” –вычитания; “&”- пересечения.

Объединением примитивов называется сложный примитив (блок) состоящий из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из примитивов a и b, то есть принадлежат примитиву a или b. Объединение примитивов a и b обозначается (·)AÎ(a+b), если (·)AÎ(a) OR (·)AÎ(b). На рис. 3.8 заштрихованная область изображает сложный примитив, полученный в результате объединения примитивов a и b. Понятие объединения распространяется и на большее число примитивов. Объединение этого множества примитивов представляет собой блок, состоящий из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному примитиву из множества объединяемых примитивов.

Пересечением примитивов a и b называется сложный примитив, содержащий те и только те элементы, которые принадлежат как примитиву a, так и примитиву b, то есть, каждая точка (·)AÎ(a&b), если (·)AÎ(a) AND (·)AÎ(b). Пересечение множества примитивов иногда называют произведением примитивов. Заметим, что понятие и операция произведение примитивов распространяется и на большее, чем два, число примитивов. На рис. 3.9 заштрихованная область представляет результат пересечения двух примитивов.

Операции объединения и пересечения обладают свойствами коммутативности и ассоциативности:

a+b)= (b+a)

(a+b)+d=a+(b+d)=a+b+d

и

a&b= b& a

(a&b)&d=a&(b&d)= a&b&d.

Разностью (вычитанием) примитивов a и b называется примитив (блок), состоящий из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат примитиву a и не принадлежат примитиву b, то есть (·)AÎ(a-b), если(·)AÎ(a) and (·)AÏ(b). Исходя из определения

a – b ¹ b – a.

На рисунке 3.10 показаны примитивы a и b и результат операции между ними (заштрихованная область).

Заметим, что множество примитивов a и b, все трехмерное пространство, пространство нулевого объема (пустое пространство) образуют булеву алгебру. Путем пространственного сложения (+), умножения (&), взятия дополнения (-) можно синтезировать комбинационный объект практически любой сложности из исходного состава примитивов, опираясь на основные теоремы булевой алгебры (таб. 3.4).

Таблица 3.4

  a+a=a  
  a&a=a  
  a+1=1  
  a&0=0  
  (a+b)+c=a+(b+c) Ассоциативность
  (a&b)&c=a&(b&c) Ассоциативность
  =& Закон де Моргана
  = + Закон де Моргана
  а+а&b=a  

Формализованное описание объекта в виде правила комбинирования примитивов совместно с информацией о типах использованных примитивов, коэффициентах описания поверхности, ее оптических характеристиках составляет полное представление объекта.

Этот метод называют еще твердотельным моделированием. Метод представляет сложные объекты составленными из простых объемных примитивов (кубов, цилиндров, конусов, шаров и других им подобных). Булевы операции над ними позволяют достигать объединения, вычитания, пересечения и выделения общей части примитивов. Структуры данных модели этого вида идентична бинарному дереву. При этом построение и обработка дерева осуществляется снизу вверх. Узлы (нетерминальные вершины) дерева являются операторами над примитивами, а листья примитивами. Структура может быть усложнена внесением операторов переноса, поворота, масштабного преобразования. На рис. 3.11 показана возможность создания разных форм путемпространственной комбинации куба и шара.

 
 

К преимуществам этого подхода формирования модели можно отнести:

· концептуальная простота;

· малый объем требуемой памяти;

· принципиальная застрахованность от создания противоречивых конструкций;

· приспособленность к усложнению модели;

К недостаткам обычно относят:

· метод построения ограничен рамками булевых операций;

· требуются вычислительноемкие алгоритмы обработки;

· невозможность использования параметрически описываемых поверхностей;

· сложность создания и обработки объектов, поверхность которых описана функциями более чем второго порядка.

Составные геометрические модели (рис. 3.12) являются универсальными моделями сложных объемных фигур. Рассматриваемые нами модели для отображения графической информации – частные случаи таких моделей. Геометрических объект представляется замкнутым множеством точек, причем множество граничных точек образует поверхность, а множество внутренних точек – тело. Поверхность геометрического объекта представляется состоящей из нескольких граней, являющихся отсеками поверхностей. Границы грани задаются совокупностью ребер, проходящих между множеством вершин геометрического объекта в порядке обхода грани. Описание модели состоит из двух частей: координат вершин и топологии их соединения, заданной набором граней или граничных контуров в порядке их обхода. На основе таких моделей получаются базовые геометрические фигуры, и на основе их составляются более сложные геометрические объекты. Каждая базовая фигура описывается в собственной системе координат, одна из вершин фигуры помещается в начало координат и называется полюсом. Координаты остальных вершин рассчитываются относительно полюса. Составная геометрическая модель сложной фигуры создается в основной системе координат XYZ. Положение системы координат каждой базовой фигуры определяется координатами полюса и углами поворота между осями основной и собственной системой координат. Координаты вершин базовой фигуры в основной системе координат определяются соответствующими матрицами преобразования. Полученные параметры фигуры называются параметрами положения. Параметры, которые характеризуют форму базовой фигуры в собственной системе координат (длина отрезков, взаимное расположение граней и т.п.), называются параметрами формы. Составные модели применяются при решении задач размещения, и компоновки геометрических объектов на плоскости и в пространстве, в системах моделирования трехмерных объектов и др.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 813; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.037 сек.