Пример минимизации связанных с запасами затрат

Ограничение оборотных средств в запасах

Минимизация связанных с запасами затрат

Управление запасами с использованием оптимального размера заказа, определяемого по классической формуле Вильсона, предполагает минимизацию суммарных транспортно-заготовительных и складских затрат – стоимости обеспечения запасов.

Предположим, что номенклатура запасов содержит n позиций (i = 1, …, n).

Годовой спрос для каждой позиции – S_i.

Стоимость заказа позиции – A_i.

Закупочная стоимость единицы товара – C_i.

Стоимость хранения единицы запаса в год I_i определяется как доля k от стоимости товара C_i, т.е. I_i = k ∙ C_i.

Оптимальный размер заказа Q_oi = √(2 ∙ A_i ∙ S_i / I_i) = √[2 ∙ A_i ∙ S_i /(k ∙ C_i)].

Средняя годовая стоимость запасов B = ∑ Q_oi ∙ C_i / 2.

Стоимость обеспечения запасов J = ∑ A_i ∙ S_i / Q_oi + B ∙ k.

Оптимальный размер заказа Q_oi соответствует минимально возможному значению J.

В практической деятельности возможны другие варианты оптимального управления запасами:

а) ограничение оборотных средств в запасах некоторой величиной B*;

б) минимизация затрат, связанных с запасами.

В условиях ограничения оборотных средств может быть лимитирована средняя годовая стоимость запасов до уровня B*.

Поскольку средняя годовая стоимость запасов пропорциональна размеру заказа, то выполняется равенство отношений B / B* = Q_oi / Q_oi*, где Q_oi* – оптимальный размер заказа с учетом лимитирования средней годовой стоимости запасов B*.

Отсюда можно определить значение Q_oi*:

Q_oi* = Q_oi ∙ B* / B. (1)

Для решения поставленной задачи предлагается использовать метод множителей Лагранжа λ. Покажем вывод формулы для определения значения λ.

Стоимость обеспечения запасов J определяется:

J = ∑ A_i ∙ S_i / Q_i + k ∙ ∑ Q_i ∙ C_i / 2,

где Q_i – размер заказа i –й номенклатуры.

Введем коэффициент Лагранжа λ, отвечающий следующим условиям:

λ = 0, если ∑ Q_i ∙ C_i / 2 ≠ B*;

λ ≠ 0, если ∑ Q_i ∙ C_i / 2 = B*;

т.е. коэффициент Лагранжа принимает нулевое значение до тех пор, пока средняя годовая стоимость запасов отличается от заданной B*.

В этом случае стоимость обеспечения запаса J можно записать, прибавив к ней условие ограничения стоимости запасов ∑ Q_i ∙ C_i / 2 - B*, помноженное на λ, учитывая, что это произведение всегда имеет нулевое значение:

J = ∑ A_i ∙ S_i / Q_i + k ∙ ∑ Q_i ∙ C_i / 2 + λ ∙ (∑ Q_i ∙ C_i / 2 - B*).

Минимум J соответствует таким значениям Q_i = Q_oi*, при подстановке которых в выражения частных производных J по Q_i получается ноль:

∂J/∂Q_i = - A_i ∙ S_i / Q_i² + k ∙ C_i / 2 + λ ∙ C_i / 2 = 0.

Отсюда находим:

Q_oi* = √[2 ∙ A_i ∙ S_i / ((k + λ) ∙ C_i)]. (2)

Подставляя (1) в (2), получим:

B* / B = √[2 ∙ A_i ∙ S_i / ((k + λ) ∙ C_i)] / √[2 ∙ A_i ∙ S_i / (k ∙ C_i)].

Путем простых преобразований находим значение коэффициента Лагранжа, удовлетворяющее условию ограничения стоимости запасов величиной B*:

λ = k ∙ [(B / B*)² – 1]. (3)

Фирма "Техника для Вас" реализует в течение года следующие товары (Табл. 1):

Таблица 1.

Годовой товарооборот фирмы "Техника для Вас"

№ п./п. (i)	Наименование	Спрос (Si), шт.	Закупочная стоимость (Ci), руб.	Стоимость заказа (Ai), руб.
	Стиральная машина
	Холодильник
	Телевизор
	Пылесос
	Магнитола
	Музыкальный центр

Стоимость хранения единицы запаса в год составляет 20% стоимости товара k = 0,2.

1. Определим оптимальные размеры заказов Q_oi = √[2 ∙ A_i ∙ S_i / (k ∙ C_i)]:

Q_o1 = √[2 ∙ 6000 ∙ 1200 / (0,2 ∙ 10000)] = √ 7200 = 85 шт.;

Q_o2 = √[2 ∙ 8000 ∙ 800 / (0,2 ∙ 14000)] = √ 4571 = 68 шт.;

Q_o3 = √[2 ∙ 4000 ∙ 3600 / (0,2 ∙ 8000)] = √ 18000 = 134 шт.;

Q_{o 4} = √[2 ∙ 5000 ∙ 2400 / (0,2 ∙ 3200)] = √ 38710 = 197 шт.;

Q_{o 5} = √[2 ∙ 2000 ∙ 6000 / (0,2 ∙ 2200)] = √ 54545 = 234 шт.;

Q_{o 6} = √[2 ∙ 2000 ∙ 4000 / (0,2 ∙ 6400)] = √ 12500 = 112 шт.

На практике размеры заказов корректируют таким образом, чтобы обеспечить целочисленное количество поставок по каждому наименованию. Мы это проведем на заключительной стадии расчетов.

2. Среднегодовая стоимость запасов B = ∑ Q_oi ∙ C_i / 2:

В = 85 ∙ 10000 / 2 + 68 ∙ 14000 / 2 + 134 ∙ 8000 / 2 + 197 ∙ 3200 / 2 + 234 ∙ 2200 / 2 +

+ 112 ∙ 6400 / 2 = 425000 + 476000 + 536000 + 315200 + 257400 + 358400 = 2368000 руб.

3. Стоимость обеспечения запасов J = ∑ A_i ∙ S_i / Q_oi + B ∙ k:

J = 6000 ∙ 1200 / 85 + 8000 ∙ 800 / 68 + 4000 ∙ 3600 / 134 + 5000 ∙ 2400 / 197 +

+ 2000 ∙ 6000 / 234 + 2000 ∙ 4000 / 112 + 2368000 ∙ 0,2 = 84706 + 94118 + 107463 + 60914 +

+ 51282 + 71429 + 473600 = 469912 + 473600 = 943512 руб.

Стоимость обеспечения запасов включает транспортно-заготовительные расходы – 469912 руб. и расходу на хранение запасов – 473600 руб. Следует отметить, что в случае оптимальных размеров заказов эти суммы становятся равными. В данном примере они различаются на 3688 руб. из-за целочисленного округления размеров заказов.

4. Общие затраты на запасы B + J = 2368000 + 943512 = 3311512 руб.

5. Введем ограничение средней годовой стоимости запасов, например, 1500000 руб.

6. Определим коэффициент Лагранжа λ по формуле (3) для В* = 1500000 руб.

λ = 0,2 ∙ [(2368000 / 1500000)² – 1] = 0,30.

7. Определим оптимальные размеры заказов в условиях ограничений Q_oi* по формуле (2), подставив значения k = 0,2 и λ = 0,3 получим Q_oi* = √(4 ∙ A_i ∙ S_i / C_i):

Q_o1* = √(4 ∙ 6000 ∙ 1200 / 10000) = √ 2880 = 54 шт.;

Q_o2* = √(4 ∙ 8000 ∙ 800 / 14000) = √ 1829 = 43 шт.;

Q_o3* = √(4 ∙ 4000 ∙ 3600 / 8000) = √ 7200 = 85 шт.;

Q_o4* = √(4 ∙ 5000 ∙ 2400 / 3200) = √15000 = 122 шт.;

Q_o5* = √(4 ∙ 2000 ∙ 6000 / 2200) = √21818 = 148 шт.;

Q_o6* = √(4 ∙ 2000 ∙ 4000 / 6400) = √ 5000 = 71 шт.

8. Результирующая среднегодовая стоимость запасов:

В_рез* = 54 ∙ 10000 / 2 + 43 ∙ 14000 / 2 + 85 ∙ 8000 / 2 + 122 ∙ 3200 / 2 + 148 ∙ 2200 / 2 +

+ 71 ∙ 6400 / 2 = 270000 + 301000 + 340000 + 195200 + 162800 + 227200 = 1496200 руб.

Полученная стоимость запасов удовлетворяет введенному ограничению ≤ 1500000 руб., что подтверждает правильность формул (2) и (3).

9. Определим результирующую стоимость обеспечения запасов:

J_рез* = 6000 ∙ 1200 / 54 + 8000 ∙ 800 / 43 + 4000 ∙ 3600 / 85 + 5000 ∙ 2400 / 122 +

+ 2000 ∙ 6000 / 148 + 2000 ∙ 4000 / 71 + 1496200 ∙ 0,2 = 133333 + 148837 + 169412 +

+ 98361 + 81081 + 112676 + 299240 = 743700 + 299240 = 1042940 руб.

Видно, что транспортно-заготовительные расходы значительно возросли (с 469912 до 743700), что объясняется уменьшением размеров заказов. Расходы на хранение уменьшились пропорционально уменьшению стоимости запасов (с 473600 до 299240). При этом стоимость обеспечения запасов возросла на 1042940 – 943512 = 99328 руб.

10. Проведем окончательную коррекцию размеров заказов до целочисленного числа поставок N_i каждого наименования продукции:

N₁ = 1200 / 54 = 22,2 поставок. Примем N₁ = 24, что соответствует Q_o1* = 50;

N₂ = 800 / 43 = 18,6 поставок. Примем N₂ = 20, что соответствует Q_o2* = 40;

N₃ = 3600 / 85 = 42,4 поставок. Примем N₃ = 40, что соответствует Q_o3* = 90;

N₄ = 2400 / 122 = 19,7 поставок. Примем N₄ = 20, что соответствует Q_o4* = 120;

N₅ = 6000 / 148 = 40,5 поставок. Примем N₁ = 40, что соответствует Q_o5* = 150;

N₆ = 4000 / 71 = 56,3 поставок. Примем N₁ = 50, что соответствует Q_o1* = 80;

11. Проведем окончательный расчет стоимости запасов:

В_ок* = 50 ∙ 10000 / 2 + 40 ∙ 14000 / 2 + 90 ∙ 8000 / 2 + 120 ∙ 3200 / 2 + 150 ∙ 2200 / 2 +

+ 80 ∙ 6400 / 2 = 250000 + 280000 + 360000 + 192000 + 165000 + 256000 = 1503000 руб.

Полученная стоимость на 3000 рублей превышает установленное ограничение, что не критично, поскольку отклонение составляет 0,2%, при этом обеспечивается целочисленность и кратность поставок, обеспечивающие сокращение заготовительных расходов.

12. Определим окончательную стоимость обеспечения запасов:

J_ок* = 6000 ∙ 24 + 8000 ∙ 20 + 4000 ∙ 40 + 5000 ∙ 20 + 2000 ∙ 40 + 2000 ∙ 50 + 1503000 ∙ 0,2 =

= 144000 + 160000 + 160000 + 100000 + 80000 + 100000 + 299240 = 744000 + 300600 = 1044600 руб.

Что незначительно отличается от суммы по п. 9.

13. Окончательные общие затраты на запасы B_ок* + J_ок* = 1503000 + 1044600 = 2547600 руб., что на 3311512 – 2547600 = 763912 руб. меньше затрат по варианту с оптимальными размерами поставок.

Приведенный пример показывает методику управления заказами при ограничении оборотных средств предприятия и подтверждает правильность теоретических формул (2) и (3). При этом наглядно показана возможность уменьшения общих затрат на запасы.

Дата добавления: 2014-01-20