Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Зауваження




Якщо початкове рівняння містить тільки сталі коефіцієнти, то можна звести його до такого вигляду, щоб не було і перших похідних шуканої функції. Для цього вводимо підстановку невідомі числа, підбираємо їх так, щоб перетворене рівняння не містило похідних І-го порядку: Коефіцієнти біля частинних похідних І-го порядку будуть залежати від; прирівнюємо їх до нуля і знаходимо відповідні значення і.

Згідно означення канонічний вигляд рівняння буде таким:

 

або

 

Приклад 6. Звести до канонічного вигляду:

 

Рівняння лінійне однорідне диференціальне рівняння в частинних похідних другого порядку з двома змінними.

- гіперболічне.

Характеристичне рівняння

 

Знаходимо дві сім’ї характеристик

 

 

Характеристиками є праві і ліві вітки сім’ї парабол

 

Вершини парабол, які належать осі, не належать характеристикам;

Заміна

 

 

 

 

.

Приклад 7. Звести до канонічного вигляду:

 

- параболічне.

Заміна

 

 

 

 

Приклад 8. Звести до канонічного вигляду(приклад 1) якщо. Еліптичне рівняння.

 

 

 

 

 

 

 

.

Приклад 9. Звести до канонічного вигляду:

 

– параболічне;

,;

;

 

 

 

 

 

 

 

.

~

 


Тема 1.2. Рівняння гіперболічного типу

1. Рівняння коливання струни.

О. Струною називається нитка яка не чинить опору при згинанні і діє тільки на розтяг.

Будемо розглядати поперечні коливання струни, при таких коливаннях точки струни рухаються в одній площині перпендикулярно до стану рівноваги.

Розглянемо тільки малі коливання – це такі, коливання при яких відхилення точок струни від стану рівноваги значно менше від довжини струни, а сама струна під час коливань досить полога.

Якщо на струну не діють ніякі зовнішні впливи, то коливання називаються вільні. Таким чином, розглядаємо вільні, поперечні, і малі.

Рівняння вільних коливань струни можна подати у вигляді:

(1) де - координати точки струни,

час,

швидкість точки, стала.

Розглянемо нескінчену струну

.

2. Задача Коші для нескінченної струни.

Так називається задача: Знайти розв’язок рівняння.

,

який задовольняє початкові умови:

 

початкова форма струни; початкова швидкість.

Задачу Коші можна сформулювати так:

Розв’язати(1),якщо відомі початкова форма і початкова швидкість струни.

Розв’язання задачі Коші:

1) Зводимо рівняння до канонічного виду

 

- (гіперболічне)

2) Рівняння характеристик:

 


,

 

 

(**)

 

3)

- від не залежить, тоді залежить тільки від.

 

- загальний розв’язок (**).

Рівняння містить дві довільні функції та. Добираємо ці функції так, щоб виконувались початкові умови.

 

 

Інтегруємо друге рівняння і розв’язуємо систему рівнянь відносно та.

 

 

 

   

 

– Розв’язок задачі Коші для вільної нескінченної струни.

(формула Даламбера)

Зауваження. Результуюча коливання струни є результатом накладання коливань, викликаних початковою формою і початковими швидкостями окремо.

 

 

3. Вільні коливання напівнескінченної струни.

О. Струна з одним закріпленим кінцем називається напівнескінченною. Домовимось вважати що струна має лівий кінець, який поміщений в початок координат. Кінець може бути вільним, а може бути закріпленим, розглядаємо закріплений кінець.

Задача.

Знайти розв’язок рівняння,

(1)

який задовольняє умови:

 

(2)

 

(3)

(4)

Умови (2) і (3) називаються початковими, а умова (4) називається межовою. Початкові і межові умови разом називаються крайовими, через це задача називається крайовою.

Теорема.

Розв’язок вказаної крайової задачі подається формулою:

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 407; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.