КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Зауваження
Якщо початкове рівняння містить тільки сталі коефіцієнти, то можна звести його до такого вигляду, щоб не було і перших похідних шуканої функції. Для цього вводимо підстановку невідомі числа, підбираємо їх так, щоб перетворене рівняння не містило похідних І-го порядку: Коефіцієнти біля частинних похідних І-го порядку будуть залежати від; прирівнюємо їх до нуля і знаходимо відповідні значення і. Згідно означення канонічний вигляд рівняння буде таким:
або
Приклад 6. Звести до канонічного вигляду:
Рівняння лінійне однорідне диференціальне рівняння в частинних похідних другого порядку з двома змінними. - гіперболічне. Характеристичне рівняння
Знаходимо дві сім’ї характеристик
Характеристиками є праві і ліві вітки сім’ї парабол
Вершини парабол, які належать осі, не належать характеристикам; Заміна
. Приклад 7. Звести до канонічного вигляду:
- параболічне. Заміна
Приклад 8. Звести до канонічного вигляду(приклад 1) якщо. Еліптичне рівняння.
. Приклад 9. Звести до канонічного вигляду:
– параболічне; ,; ;
. ~
Тема 1.2. Рівняння гіперболічного типу 1. Рівняння коливання струни. О. Струною називається нитка яка не чинить опору при згинанні і діє тільки на розтяг. Будемо розглядати поперечні коливання струни, при таких коливаннях точки струни рухаються в одній площині перпендикулярно до стану рівноваги. Розглянемо тільки малі коливання – це такі, коливання при яких відхилення точок струни від стану рівноваги значно менше від довжини струни, а сама струна під час коливань досить полога.
Якщо на струну не діють ніякі зовнішні впливи, то коливання називаються вільні. Таким чином, розглядаємо вільні, поперечні, і малі. Рівняння вільних коливань струни можна подати у вигляді: (1) де - координати точки струни, час, швидкість точки, стала. Розглянемо нескінчену струну . 2. Задача Коші для нескінченної струни. Так називається задача: Знайти розв’язок рівняння. , який задовольняє початкові умови:
початкова форма струни; початкова швидкість. Задачу Коші можна сформулювати так: Розв’язати(1),якщо відомі початкова форма і початкова швидкість струни. Розв’язання задачі Коші: 1) Зводимо рівняння до канонічного виду
- (гіперболічне) 2) Рівняння характеристик:
(**)
3) - від не залежить, тоді залежить тільки від.
- загальний розв’язок (**). Рівняння містить дві довільні функції та. Добираємо ці функції так, щоб виконувались початкові умови.
Інтегруємо друге рівняння і розв’язуємо систему рівнянь відносно та.
– Розв’язок задачі Коші для вільної нескінченної струни. (формула Даламбера) Зауваження. Результуюча коливання струни є результатом накладання коливань, викликаних початковою формою і початковими швидкостями окремо.
3. Вільні коливання напівнескінченної струни. О. Струна з одним закріпленим кінцем називається напівнескінченною. Домовимось вважати що струна має лівий кінець, який поміщений в початок координат. Кінець може бути вільним, а може бути закріпленим, розглядаємо закріплений кінець. Задача. Знайти розв’язок рівняння, (1) який задовольняє умови:
(2)
(3) (4) Умови (2) і (3) називаються початковими, а умова (4) називається межовою. Початкові і межові умови разом називаються крайовими, через це задача називається крайовою. Теорема. Розв’язок вказаної крайової задачі подається формулою:
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 407; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |