Висновок. 1. Зводимо диференціальне рівняння до канонічного виду

Зауваження 2.

Зауваження 1.

Доведення.

1. Зводимо диференціальне рівняння до канонічного виду

2. Знаходимо загальний розв’язок рівняння, де і - довільні функції.

3. Знаходимо залежність між і на основі крайових умов,.

4. Знаходимо та з початкових умов.

Після використання процедури описаної в попередній задачі дістанемо:

(5)

Після додавання в (5) дістанемо:

. Замінивши на, маємо: (6)

Після віднімання у (5) дістанемо:

. Розглянемо два випадки:

а)

(формула Даламбера).

б), заміняємо

Ми довели що при умові існування розв’язку він подається відповідними формулами і тому єдиний. Потрібно переконатись, що одержані функції є розв’язками рівняння, які задовольняють задані крайові умови. При цьому потрібно використати правило диференціювання інтеграла залежного від параметру.

,.

Рівність, записану в теоремі, можна подати строчкою у формі, аналогічній формулі Даламбера. Для цього потрібно функції і продовжити непарним способом на всю вісь.

аналогічно

4. Вільні коливання скінченої струни.

Вважаємо що струна має довжину і закріплена на кінцях. Лівий кінець в початку координат.

Задача.

Знайти розв’язок рівняння,

який задовольняє такі крайові умови:

Метод розв’язання.

Метод Фур’є (метод відокремлення змінних).

1) Розв’язок шукаємо у формі добутку функцій від x і t:

Ліва частина залежить тільки від, а права тільки від. Вони рівні між собою. Тому кожна частина є сталою:

Можливі випадки:

Неважко довести, що у випадках а), б) і коливань немає. Розглянемо в) покладемо, тоді

Дістали два лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку з сталими коефіцієнтами.

а) - характеристичне рівняння для першого;

б) - характеристичне рівняння для другого;

Довільні сталі знаходимо з початкових умов, а із крайових.

2) Спочатку використовуємо крайові умови.

а)

(коливань немає).

Якщо тоді

б) Розглянемо другу умову:

таким чином, для знаходження дістали рівняння:

(коливань немає)

або підставляємо в та

Внаслідок довільності коефіцієнтів в останній формулі вважаємо n=1,2,3...

Оскільки рівняння однорідне, то лінійна комбінація одержаних розв’язків є також розв’язком. У нашому випадку дістаємо ряд.

3) Початкові умови:

а)

Остання рівність означає, що є коефіцієнтами Фур’є функції, розкладеної в ряд за синусами, тому

б)

Ця рівність означає, що числа є коефіцієнтами Фур’є для функції, розкладеної на за синусами, тому

Звідси

Розв’язок даної крайової задачі подається у вигляді ряду:

Коефіцієнти якого знаходимо за формулами

5. Вільні коливання прямокутної мембрани.

Основні поняття

О.1. Мембраною називається матеріальна пластина яка не чинить опору згинанню і діє тільки на розтяг.

О.2. Функції і називаються ортогональними в області D, якщо.

О.3. Інтеграл від квадрата функції по області D, називається квадратом норми функції.

Функція називається нормованою, якщо її норма дорівнює 1.

О.4. Система функцій (*) називається ортогональною в області D, якщо кожні дві з них ортогональні в області D.

О.5. Система називається нормованою, якщо кожна функція нормована.

О.6. Система називається ортонормованою, якщо вона ортогональна і нормована.

О.7. Функція називається періодичною:

- по змінній x, якщо;

– по змінній y, якщо.

О.8. Функція називається періодичною по обох змінних, якщо.

Традиційно:.

О.9. Нехай функція задана в прямокутнику із сторонами і в області: функція f продовжена в область непарним способом; аналогічно продовжимо функцію f непарним способом в область.

Подвійним рядом Фур’є функції за системою називається ряд -, де.

y

l

- l l x

-l

Дата добавления: 2014-01-20