Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вероятностное описание случайных погрешностей




СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

Присутствие случайных погрешностей в результатах измерений легко обнаруживается из-за их разброса относительно некото­рого значения. Как уже отмечалось ранее, и результат измерения, и его погрешность с известными оговорками могут рассматривать­ся как случайные величины.

Из теории вероятности известно, что наиболее универсальным способом описания случайных величин является отыскание их ин­тегральных или дифференциальных функций распределения. Интегральной функцией распределения F(x) называют функцию, ка­ждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина хi в i-м опыте принимает значение, меньшее х:

 

F(X) = Р {Хi < X} = Р{ -< Xi < = Х }.

График интегральной функции распределения показан на рис.5. Она имеет следующие свойства:

• неотрицательная, т.е. F(x) > О;

• неубывающая, т.е. F(x2) > F(x1), если х2 >= х1;

• диапазон ее изменения простирается от 0 до 1, т.е. F(-) =0;

F(+) = 1;

• вероятность нахождения случайной величины х в диапазоне от x1 до х2 Р{х1 < х < х2} = F(x2) - f(x1).

Более наглядным является описание свойств результатов изме­рений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей р(х) = dF(x)/dx. Она всегда неотрицательна и подчиняется условию нормирования в виде:

p(x)dx = 1

Учитывая взаимосвязь F(x) и р(х), легко показать, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (х1; х2)

P{x1 < x < x2} = p(x)dx

Следовательно, рассмотренное выше условие нормирования означает, что вероятность попадания величины х в интервал [-∞;∞] равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие.

Из последнего уравнения следует, что вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (х1;x2) равна площади, заключенной под кривой р(х) между абсциссами х1 и х2 (см. рис.5). Поэто­му по форме кривой плот­ности вероятности р(х) можно судить о том, какие значения случайной вели­чины х наиболее вероятны, а какие наименее.

Результирующая по­грешность зачастую скла­дывается из ряда состав­ляющих с различными плотностями распределе­ния р1(Х), р2(х),..., рn(х). В связи с этим возникает за­дача определения суммар­ного закона распределения погрешности. Для суммы независимых непрерывных случайных величин х1 и х2, имеющих распределения р1(x) и р2(х), он называется композицией и выражается интегралами свертки

:

Р(z) = р112(z-x1)dx1 = р1(z-x2)p2(x2)dx2.

Графическое определение композиции двух случайных независимых величин показано на рис. 6. Следует отметить, что масштаб всех графиков по вертикали произвольный, и должно выполняться условие: площадь, ограниченная кривой плотности вероятности, равна единице.

 

Рис.5. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции

распределения случайной величины.

 

Рис.6. Суммирование законов распределения

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 1136; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.