Замечание 1. Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непре­рывных величин

Если возможные значения принадлежат всей оси х, то

Если возможные значения Х принадлежат отрезку [а, b], то

Среднее квадратическое отклонение непрерывной слу­чайной величиныопределяется, как и для величины диск­ретной, равенством

Замечание 2. Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:

Нормальный закон распределения

Особое место среди всех законов распределениязанимаетнормальный закон распределения,играющий исключительно важную роль в ТВ и МС. Его особое положение объясняется тем, что,во-первых, он является предельным законом, к которому асимптотически приближаются другие законы распределения, во вторых, его основу составляет так называемая предельная теорема теории вероятностей,условия применимости которой в полной мере соответствуют значительному множеству задач, в том числе и экономических.

Нормальным (Гауссовым) законом называют закон распределения вероятно­стей непрерывной случайной величины, плотность распределения которой описы­вается выражением вида:

Из этого выражения видно, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и σ. Поэтому д остаточно знать эти пара­метры, чтобы задать нормальное распределение.

Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков:

а есть математическое ожидание, σ— среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непре­рывной случайной величины,

Введём новую переменную Отсюда Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно «а»

Итак, Μ (Χ) = a, т. е. математическое ожидание нор­мального распределения равно параметру а.

б ) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что Μ (Χ) = a, имеем

Введём новую переменную Отсюда Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Интегрируя по частям, положив

и заменив новые переменные в выражении , найдем

Следовательно,

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру

Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и (> 0)

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а =0 и = 1.

Плотность нормированного распределения

Эта функция табулирована (табличная).

Замечание 2.Функция F (х) общего нормального распреде­ления

Где Z=(x-a)/

а функция нормированного распределения

Функция f₀ (х) табулирована. Легко проверить, что

Дата добавления: 2014-01-20