Нормальный закон распределения. 1. Нормальный закон распределения

Лекция № 9

План:

1. Нормальный закон распределения

2. Правило трех сигм

Нормальный закон распределения является самым распространенным из законов распределения, наиболее часто встречающимся в случайных явлениях природы. Объясняется это тем, что, как правило, случайная величина принимает те или иные значения под воздействием большого числа взаимно независимых малых причин, другими словами, является суммой очень большого числа взаимно независимых случайных величин, малых по сравнению со всей суммой.

В соответствии с предельной теоремой Ляпунова, закон распределения такой случайной величины весьма мало отличается от нормального закона распределения (хотя сами составляющие могут иметь разнообразные распределения). Частным случаем этого общего факта является интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Нормальный закон распределения задается дифференциальной функцией

(9.1)

Параметры а = М(Х) и σ² = D(Х) являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины X, распределенной по нормальному закону.

В этом случае говорят, что X имеет нормальное распределение с параметрами а и σ²:

Таким образом, если известны математическое ожидание и дисперсия случайной величины и известно, что она подчиняется нормальному закону, то известен, полностью закон распределения этой величины – дифференциальная функция распределения. Нормальный закон распределения иногда называют законом Гаусса.

Для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины X в промежуток от α до β используется формула:

(9.2)

где

Ф₀(х) функция Лапласа, определение и свойства которой приведены в лекции 7.

Для симметричного относительно а промежутка () справедлива формула:

(9.3)

В соответствии с локальной теоремой Муавра-Лапласа, которая сформулирована в лекции 7, биноминальное распределение близко к нормальному закону распределения, если вероятность в каждом испытании не слишком близка к нулю или к единице и число испытаний п достаточно велико. При этом их математические ожидания и дисперсии совпадают, т.е. имеет место равенство:

(9.4)

где

Формула применима и к частоте т, поскольку ее закон распределения при достаточно большом числе испытаний практически совпадает с нормальным. Применительно к случайной всличине т, с учетом ее числовых характеристик формула (9.2) принимает вид:

(9.5)

а формула (9.3) может быть записана

(9.6)

Для относительной частоты формула (9.3) может быть применена с числовыми характеристиками и :

(9.7)

Таким образом, вероятность того, что нормально распределенная величина х отклоняется от своего математического ожидания не более чем на ε, равна

Например,

Так как 0,9973 близко к 1, то в статистике принято считать практически достоверным неравенство

Таким образом, имеет место так называемое правило «трех сигм».

Дата добавления: 2014-01-20