Метод максимального правдоподобия

Одним из важнейших методов построения оценок является метод максимального правдоподобия. Пусть над случайной величиной X проведено n наблюдений, в результате которых получена выборка объема n. Пусть требуется найти оценку некоторого параметра q, связанного с законом распределения. Тогда вероятность того, что случайная величина X примет значение x_i будет также зависеть от того же параметра

По теореме умножения вероятностей вероятность появления значений выборки (при условии независимости) равна произведению вероятностей p(x_i, q). Назовем эту величину функцией правдоподобия

(1)

Принцип максимального правдоподобия состоит в том, что оценка параметра q выбирается так, что величина (1) принимает наибольшее значение. Необходимое условие максимума

(2)

Вместо величины (1) часто удобно использовать в качестве функции правдоподобия величину ln L. Тогда условие (2) заменяется равенством

Что эквивалентно (2).

Пример. Пусть вероятность появления события A в единичном испытании равна p. Проведено n испытаний, число появлений равно m. Найти наиболее правдоподобную оценку вероятности p.

Составим функцию правдоподобия

Или

Получим уравнение для нахождения оценки

Откуда следует

Наиболее правдоподобная оценка вероятности p равна p=m/n.

С помощью этого метода находятся различные статистические оценки.

Дата добавления: 2014-01-20