Теорема о предельных вероятностях

Теорема 2. (Теорема о предельных вероятностях Биркгофа–Неймана). Если при некотором n ₀ все элементы матрицы положительны, то существуют пределы , (i, j = 1, 2,..., r). Предельные вероятности b_j не зависят от начального состояния E_i и являются единственным решением системы уравнений

(2)

Физический смысл этой теоремы заключается в том, что вероятности нахождения системы в состоянии E_j практически не зависят от того, в каком состоянии она находилась в далеком прошлом.

Цепь Маркова, для которой существуют пределы b_j, называется эргодической. Решение (b ₁, b ₂,..., b_r) системы (2) называется стационарным распределением вероятностей для марковской цепи с матрицей перехода P.

Если из состояния E_i система может перейти в состояние E_j с положительной вероятностью за конечное число шагов, то говорят, что E_j достижимо из E_i.

Состояние E_i называется существенным, если для каждого состояния E_j, достижимого из E_i, E_i достижимо из E_j. Если же для хотя бы одного j E_j достижимо из E_i, а E_i не достижимо из E_j, то E_i – несущественное состояние.

Дата добавления: 2014-01-20