Пример 4. Начальные вероятности трех возможных состояний A1, A2, A3 некоторой физической системы равны: ; ;

Начальные вероятности трех возможных состояний A ₁, A ₂, A ₃ некоторой физической системы равны: ; ; . Последовательность смен состояний системы образует цепь Маркова с матрицей переходов

.

а) Убедитесь в применимости теоремы Маркова к этой цепи.

б) Найдите вероятности состояний в момент времени t = 2.

в) Найдите предельные вероятности.

Решение.

а) Проверим условия применимости теоремы Маркова:

, ,

.

Второе условие выполнено, т.к. все элементы матрицы не отрицательны. Проверим первое условие:

: ,

: ,

: ,

т.е. первое условие также выполнено. Следовательно, теорема Маркова применима к данной цепи.

б) Зная переходные вероятности (т.е. зная матрицу перехода P = P ₁), можно найти вероятности перехода из состояния в состояние за два шага P ₂, зная ее – найти матрицу Р ₃, и т.д. В частности, вероятности состояний системы в момент времени t = 2 определим через матрицу P ₂:

,

,

т.е. вероятности состояний в момент времени t = 2 равны: ; ; .

в) Предельные вероятности b_j не зависят от начального состояния системы и являются единственным решением системы уравнений

Имеем систему

или

Запишем расширенную матрицу системы, и приведем ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду

,

т.е. получили систему уравнений, эквивалентную исходной

решив которую, получим , , .

Таким образом, предельные вероятности b_j равны: ; ; .

Дата добавления: 2014-01-20