Случайное событие. Частота. Вероятность

Лекция 4 Случайные величины и их описание

Пусть при выполнении определенных условий происходит неко­торое событие, которое будем называть "событием А ". Каждый случай выполнения этих условий принято называть опытом или испы­танием. Возможны три ситуации:

1. Событие А происходит всякий раз при осуществлении опыта или испытания. Такое событие называется достоверным.

2. Событие не происходит никогда (ни в одном испыта­нии). Такое событие называется невозможным.

3. В каждом данном испытании со­бытие А может произойти, но может и не произойти, причем точно указать, в каком испытании оно произойдет, а в каком – нет, зара­нее невозможно. Такое событие называют случайным, исход испыта­ния также является случайным.

Предсказание исхода того или иного испытания (произойдёт или не произойдет событие А в данном испытании) основывается на на­копленном опыте. Для ситуаций 1 и 2 можно дать точное предсказание исхода будущего испытания. В ситуации 3 предсказание можно сделать лишь грубо ("в среднем"), указав, что событие может произойти лишь в такой-то доле от общего числа испытаний.

Несмотря на случайность исходов отдельных испытаний, при много­кратном их повторении мы можем наблюдать вполне определенные средние результаты. Тенденция стремления результа­тов испытаний к некоторому общему среднему результату при увели­чении числа испытаний получила название статистической устойчиво­сти, существование которой основывается на предшествующем опыте или интуиции. Классическим примером являются опыты с подбрасыванием монеты. Выпадение герба при падении монеты в разных сериях испытаний про­исходит в числе испытаний, близком к половине общего их числа в серии. При увеличении числа испытаний в серии число выпадений герба всё больше приближается к половине общего числа испытаний в серии, т. е. к некоторому неслучайному показателю.

Пусть в N испытаниях событие А произошло n(А) раз. Отношение n(А)/N называется относительной частотой или просто частотой появления события А. Если провести несколько серий опытов по N испытаний в каждой, то отношение n(A)/N бу­дет различным для разных серий, но при увеличении N это отношение будет стремиться к некоторому постоянному числу, называемому ве­роятностью появления события А:

n (A)/ N ® Р (А) при N ®¥.

Вероятность является объективной характеристикой и математи­ческим выражением возможности появления случайного события А в каждом отдельном испытании. Нетрудно видеть, что вероятность принимает значения, лежащие в интервале от нуля до единицы, т. е. 0 £ Р (А) £ 1, причем для до­стоверного события Р (А) = 1 (n (А) = N), для невозможного события Р (А) = 0 (n (А) = 0).

Физическое содержание события А может быть различным. Таким событием может быть выпадение герба при бросании монеты, рождение мальчика или девочки, превышение температурой воздуха заданного уровня в течение выбранных суток и др.

Если появление одного из событий делает невозможным появле­ние других в данном испытании, то такие события называются несов­местимыми. Если в каждом испытании должно обязательно произойти одно из событий некоторой группы, то эти события образуют полную группу. Если события к тому же несовместимы, то они образуют полную груп­пу несовместимых событий.

Пусть события А ₁,..., A_N образуют полную группу и несовместимы. Тогда появление любого из этих событий в данном испытании есть достоверное событие, вероятность которого равна единице, то есть

P (A ₁ или А ₂,... или А_N) = .

Если же вероятности этих событий равны между собой, то

откуда .

Классическим примером рассмотренной ситуации является выпа­дение некоторого числа очков при бросании игральной кости, пред­ставляющей собой кубик с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, нанесенными на гранях. Выпадение каждой грани является случайным событием. Если кубик считать идеальным, то вероятности выпадения всех граней одинаковы. Выпадение одной из них исключает выпадение других, и со­бытия, состоящие в выпадении 1...6 очков, образуют полную группу несовместимых событий. Вероятность выпасть любому из указанных чисел равна 1/6. Вероятность получить число очков не менее 3 при одном бросании равна вероятности выпадения чисел 3, 4, 5, 6, т. е. (1/6)4 = 2/3.

Дата добавления: 2014-01-20