Полный факторный эксперимент

Среди методов планирования эксперимента наибольшее распространение получил метод полного факторного эксперимента. Он представляет собой эксперимент, план которого содержит все возможные комбинации всех факторов, повторяющихся на каждом уровне одинаковое число раз (для уровней число этих комбинаций равняется ). Наиболее широко применяется планирование на двух уровнях, в котором число реализаций составляет .

Нахождение регрессионной модели явления методом полного факторного эксперимента включает в себя следующие основные этапы:

1. Выбор основных факторов и интервалов их варьирования.

2. Составление плана эксперимента.

3. Выполнение экспериментального исследования.

4. Проверка воспроизводимости опытных данных.

5. Получение регрессионной модели явления и проверка статистической значимости коэффициентов регрессии.

6. Проверка адекватности полученной регрессионной модели

В качестве факторов, определяющих исследуемое явление, выбираются контролируемые и независимые переменные, которые оказывают наиболее сильное влияние на исследуемую величину. Выяснение их производится на основе предварительных сведений о сущности данного явления (гипотеза, аналитическое или ранее проведённые экспериментальные исследования и т. д.), либо проведения специальных «отсеивающих экспериментов».

Каждый фактор имеет определённый предел изменения, внутри которого он принимает дискретные или непрерывные значения. Совокупность всех значений, которые может принимать данный фактор, представляет собой область определения фактора. Из этих значений экспериментатором выбирается интервал изменения параметров, в пределах которого ставится исследование. Этот интервал должен удовлетворять условию получения наилучших результатов.

Размах варьирования факторов представляет собой разность между максимальными и минимальными значениями фактора в данном плане. Интервалом варьирования факторов называют половину размаха варьирования факторов. Основным уровнем фактора является натуральное значение фактора, соответствующее нулю в безразмерной шкале. Прибавление интервала к основному уровню даёт верхний, а вычитание – нижний уровень фактора. В целях упрощения масштабы по осям выбираются так, чтобы основной уровень соответствовал нулю, верхний – плюс единице, а нижний – минус единице. Для факторов с непрерывным характером изменения это достигается кодированием по формуле

,

где – кодированное значение фактора; – его натуральное значение; – основной натуральный уровень фактора; – интервал варьирования фактора в натуральных единицах; – номер фактора.

Рассмотрим план эксперимента для получения регрессионной модели при варьировании факторов на двух уровнях (минимально необходимое число уровней фактора должен быть на единицу больше порядка регрессионной модели). Число необходимых экспериментов в этом случае будет , а регрессионная модель для трёх факторов () имеет вид

.

Такой вид уравнения позволяет выявить не только влияние отдельных факторов на искомую величину, но и совместное влияние их комбинаций (эффект взаимодействия). Матрица планирования для трёх факторов приведена в таблице 1. Каждый столбец её называется вектор-столбцом, а каждая строка – вектор-строкой. Для упрощения обработки опытных данных в матрицу планирования введён фиктивный фактор , принимающий единственное значение (в таблице 1 для краткости записи единица опущена).

Т а б л и ц а 1. Матрица планирования для трёх факторов

Номер экспери-мента
	+ + + + + + + +	– + – + – + – +	– – + + – – + +	– – – – + + + +	+ – – + + – – +	+ – + – – + – +	+ + – – – – + +	– + + – + – – +

При построении планов используется ряд приёмов. Один из них основан на правиле чередования знаков: в первом столбце знаки изменяются поочередно, во втором – через два, в третьем – через четыре, в четвёртом – через восемь и т. д. Второй приём сводится к последовательному достраиванию матрицы: при добавлении нового фактора повторяется комбинация уровней исходного плана сначала при значении нового фактора на верхнем уровне, а затем – на нижнем. Данные, представленные в таблице 1, могут быть представлены также в графической форме.

При выполнении исследования в каждой точке плана проводится параллельных экспериментов () с последующим осреднением полученных результатов, что позволяет уменьшить в раз погрешность определения регрессионной модели в данной точке. Таким образом, исследование делится на серий экспериментов.

В каждой серии экспериментов их последовательность рандомизируется, т. е. с помощью таблицы случайных чисел определяется случайная последовательность реализации экспериментов. Рандомизация даёт возможность свести эффект некоторого случайного фактора к случайной погрешности.

На основе выполненных экспериментов находятся коэффициенты регрессии (при их восемь). Для этого чаще всего используется метод наименьших квадратов и минимизируется сумма квадратов отклонений расчётных значений искомой величины от наблюдаемых в эксперименте. Для любого числа факторов расчётная формула имеет следующий вид (поскольку план ортогональный, все коэффициенты определяются независимо):

,

где – общее число экспериментов; – значение переменной в соответствующем столбце; – значение функции отклика в фиксированной точке плана; – число повторных экспериментов в точках плана.

Формула, записанная для может быть использована для расчёта коэффициента (). Для этого используется столбец фиктивного фактора в таблице 1. В отдельных случаях коэффициенты регрессии рассчитываются по способу Иейтеса, при котором отпадает необходимость в фиктивном факторе.

Полученная регрессионная модель явления подвергается статистической оценке. Проверка значимости коэффициентов регрессии производится на основе критерия Стьюдента, проверка адекватности регрессионной модели – по критерию Фишера, а проверка воспроизводимости опытных данных – с использованием критерия Фишера или Кохрена.

Дата добавления: 2014-01-20