Математический аппарат спектрального анализа

Частотный анализ детерминированных сигналов.

Для частотного представления сигналов было выбрано преобразование Фурье, т. е. разложение по синусам и косинусам (а не по форме, к примеру прямоугольной) т. к. синус и косинус собственные функции линейного фильтра, т. е. эти функции не изменяют своей формы при прохождении через линейный фильтр.

Такое преобразование, впервые было применено Бернулли и Эйлером и рассматривалось лишь как метод решения задач математической физики. И только начиная с 20-х годов, вследствие бурного развития отраслей техники, связанных с колебаниями различного рода, спектральное представление получило всеобщее признание.

Известно, что любая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (она ограничена, кусочно-непрерывная и имеет на протяжении периода конечное число экстремумов), может быть представлена в виде бесконечной, в общем случае, суммы гармонических составляющих – рядом Фурье. Известны две наиболее часто применяемые формы разложения в ряд Фурье периодического колебания – тригонометрическая и комплексная. Тригонометрическая форма имеет следующий вид:

(1)

где:

и -коэффициенты ряда Фурье;

- частота основной (первой) гармоники;

- частота к- й гармонической составляющей.

В эту сумму входят как четные, так и нечетные гармоники с амплитудами ак и bк, которые вычисляются по следующим формулам (2):

(2)

Тригонометрический ряд Фурье можно записать в более компактной форме, перейдя от переменных ак и bк к переменным Ак и φк в соответствии с формулами (3):

(3)

Эта замена соответствует переходу от декартовых к полярным координатам. Выполнив на основе (3) элементарные преобразования, получим следующую эквивалентную (1) тригонометрическую форму ряда Фурье:

(4)

Из (4) видно, что Ак представляет собой амплитуду, а φк - начальную фазу к-й гармоники.

Амплитуды Ак и начальные фазы φк принимают конкретные значения в зависимости от формы сигнала.

Комплексная форма ряда Фурье представляется в виде:

(6)

(5)

где: .

Дата добавления: 2014-01-20