Различные уравнения прямой в пространстве

Определение 1. Направляющим вектором прямой a называется ненулевой вектор s, параллельный прямой a.

Пусть е = ( m, k, l) -направляющие вектора прямой а, M ₀(x ₀, y ₀, z ₀)- точка, принадлежащая прямой а. Пусть M (x, y, z), произвольная точка пространства,

.

Точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы и е коллинеарны. Последнее равносильно тому, что координаты этих векторов пропорциональны. Отсюда получаем уравнение прямой, проходящей через точку M ₀(x ₀, y ₀, z ₀), параллельной вектору е = ( m, k, l):

. (1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением прямой. Заметим, что если знаменатель в каноническом уравнении равен нулю, то и соответствующий числитель равен нулю.

Пусть M ₁(x ₁, y ₁, z ₁) и M ₂(x ₂, y ₂, z ₂) - две различные точки, принадлежащие прямой а. В качестве направляющего вектора прямой а возьмем вектор . Тогда по формуле (1) получаем уравнение прямой, проходящей через две точки:

. (2)

Рассмотрим радиус вектора r _o = и r = . Точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы = r - r _o и s коллинеарны. Так как вектор s ненулевой, то последнее равносильно тому, что вектор r - r _o линейно выражается через вектор s, т.е.

r - r _o = t s,

где t -действительное число.

Отсюда получаем так называемое векторно-параметрическое уравнение плоскости:

r = r _o + t s, (3)

где t -произвольный действительный параметр.

Так как r = = (x, y, z), r _o = = (x ₀, y ₀, z ₀), то запишем это уравнение в координатной форме. Получим параметрические уравнения прямой прямой а:

(4)

где t -произвольный действительный параметр, s = ( m, k, l) - направляющий вектор прямой а, M ₀(x ₀, y ₀, z ₀) - точка, принадлежащая прямой а.

Прямую можно также представить как линию пересечения двух пересекающихся плоскостей a и b:

, (5)

где A ₁² + B ₁²+ C ₁² ¹ 0, A ₂² + B ₂²+ C ₂² ¹ 0;

Чтобы перейти от уравнений (4) прямой к каноническим уравнениям прямой необходимо найти точку M ₀ этой прямой и направляющий вектор этой прямой. Решив систему (4) и найдем одно ее частное решение (x ₀, y ₀, z ₀), M ₀(x ₀, y ₀, z ₀)- точка, принадлежащая прямой а.

Наиболее легко направляющий вектор прямой находится в прямоугольной системе координат исходя из определения векторного произведения векторов. Для этого рассмотрим нормальные вектора n ₁ = ( A ₁, B ₁, C ₁), n ₂ = ( A ₂, B ₂, C ₂) плоскостей a и b. Направляющим вектором прямой пересечения плоскостей a и b является векторное произведение векторов n ₁ , n ₂.

Находим векторное произведение векторов

n ₁ ´ n ₂ = .

Таким образом, каноническое уравнение прямой (4) имеет вид:

. (5)

Дата добавления: 2014-01-20