Связь способа кодирования с характером ошибки квантования

В разделе 1.2 описан случай квантования аналогового сигнала s(t), когда квантованный сигнал s _вых (t) принимает значение того или иного уровня квантования в тот момент, когда аналоговый сигнал s(t) достигает центра соответствующего интервала квантования. Ошибка квантования Е_кв в этом случае находится в пределах

где Q = 1/2^m — интервал (шаг) квантования, равный по величине младшему значащему разряду кода, которым обозначаются но­мера уровней квантования.

Такая ошибка называется ошибкой округления и обозначается символом E_Q.

Квантованию может подвергаться не только аналоговый сигнал, но и цифровой. Квантование цифрового сигнала заключается в со­кращении числа разрядов кода с некоторой величины m до величи­ны b (т >b) иявляется обычной процедурой в цифровых фильтрах. Поскольку любые арифметические операции с цифровыми сигна­лами являются нелинейными, результаты их могут содержать сколь угодно много значащих разрядов кода.

Сокращение их числа до некоторого значения b может осуще­ствляться двумя способами — округлением и усечением.

Округление — это замена исходного m-разрядного числа на бли­жайшее к нему b-разрядное (b<т < ∞), т. е. соответствует выбору ближайшего уровня квантования. Ошибка округления Е ₀удовлет­воряет неравенству

(1.20)

Следует заметить, что при выборе способа сокращения разрядно­сти двоичного кода (или способа квантования аналогового сигнала) ошибка квантования может зависеть от способа представления двоич­ного числа. Однако в случае округления ошибка будет одинакова для всех четырех вышеописанных кодов — прямого, обратного, дополни­тельного и смещенного. Характеристика нелинейности, соответству­ющая операции округления, показана на рис. 1.8 я. Она тождественна характеристике квантования, представленной на рис. 1.6 б.

Рис. 1.8. Характеристики нелинейности квантования:

а) для операции округления; б) для операции усечения при дополнительном и смещенном кодах; в) для операции усечения при прямом и обратном кодах

Плотность вероятности ошибки округления P (E ₀), в предполо­жении, что все значения ошибки равновероятны, показана на рис. 1. 9 а [3].

Рис. 1.9. Плотности вероятности ошибки квантования:

а) для ошибки округления; б) для ошибки усечения при дополнитель­ном и смещенном кодах; в) для ошибки усечения при прямом и обратном кодах

Усечением m -разрядного числа до b разрядов (b <т< ∞)называ­ется отбрасывание младших т-b разрядов исходного числа. При ана­лого-цифровом преобразовании усечению соответствует случай, когда квантованный сигнал принимает значение того или иного уровня квантования только после пересечения его верхней границы.

Ошибка усечения Е удовлетворяет неравенствам:

а) для положительных чисел при любом способе кодирования и отрицательных чисел в дополнительном и смещенном кодах

-2^-b ≤ Е_y ≤ 0 (1.21)

б) для отрицательных чисел в прямом и обратном кодах

0 < Е₀ < 2^-b (1.22)

В (1.21) и (1.22) считается, что m >> b.

Характеристика нелинейности, соответствующая операции усе­чения для дополнительного и смещенного кодов, показана на рис. 1.8 б, для прямого и обратного кодов — на рис. 1.8 в.

Плотности вероятности ошибки усечения Р (Е_y)показаны на рис. 1.9 б для дополнительного и смещенного кодов, и на рис. 1.9 в — для прямого и обратного кодов.

1.4. Нелинейное квантование

В некоторых случаях линейное квантование аналогового сиг­нала оказывается недостаточно эффективным. Типичным приме­ром такой ситуации является аналого-цифровое преобразование звуковых сигналов. Если звуковой сигнал, который требуется пре­образовать в цифровую форму, имеет достаточно широкий дина­мический диапазон (например, звучание симфонического оркест­ра), то отношение сигнал/шум, определяемое формулой (1.13) оказывается приемлемым только для фрагментов звучания, близ­кого к предельным значениям шкалы квантования. Когда уровень полезного (музыкального) сигнала достаточно высок, он маски­рует шумы квантования и присутствие последних практически не ощущается на слух. Но для фрагментов тихого звучания музы­кальной программы, когда диапазон изменения аналогового сиг­нала находится в пределах всего нескольких нижних уровней кван­тования (вплоть до m = 1), отношение сигнал/шум резко ухудшается, и воздействие шума квантования на звучание фонограммы оказы­вается катастрофическим. Процесс квантования в этом случае бу­дет эквивалентен процессу жесткого ограничения и сигнал будет иметь вид прямоугольных импульсов. Разница между входным сиг­налом (синусоидальная волна) и выходным сигналом (прямоуголь­ные импульсы) выразится в появлении целого ряда нечетных гар­моник с уровнем, сопоставимым с уровнем исходного аналогового сигнала. Одно из основных условий, при котором шум квантова­ния считается эквивалентным белому шуму (высокий уровень входного сигнала) в данном случае оказывается нарушенным, и ошибка квантования приобретает характер искажения. Причем ис­кажения эти крайне неприятны на слух.

Наиболее очевидным способом борьбы с шумом квантования представляется снижение его уровня до приемлемой величины путем повышения разрядности квантования. Согласно той же форму­ле (1.13) каждый добавленный разряд сокращает уровень шума на 6 дБ. В большинстве случаев именно по этому пути и идут разра­ботчики цифровой звуковой аппаратуры. Длина кодов, используе­мых в высококачественных системах цифровой звукозаписи, в на­стоящее время достигает 20-24 разрядов. Подобное решение является очень эффективным, но, к сожалению, достаточно доро­гим, АЦП и ЦАП с такой разрядностью изготовить весьма непрос­то и это, безусловно, отражается на их цене.

Альтернативным решением для систем менее высокой разрядно­сти является введение небольшого количества специально сформи­рованного белого шума к входному аналоговому сигналу. Такой ис­кусственно созданный шум называется дифером. Идея введения аддитивного шума в квантуемый сигнал принадлежит Л. Робертсу, который использовал этот прием при кодировании телевизионных изображений [10]. Впоследствии идея применения дифера была пе­ренесена и на процесс квантования звуковых сигналов. Роль дифера, как средства борьбы с отрицательными явлениями, вызванными шумом квантования, заключается в следующем. Как уже упомина­лось в разделе 1.2, шум квантования можно характеризовать как бе­лый только для сигналов высокого уровня и сложного спектрально­го состава. В этом случае можно считать, что статистическая связь между ошибками квантования отсутствует, и их величины могут при­нимать любые значения от +Q/2 до -Q/2 с равной вероятностью. Однако, начиная с некоторого предела, ошибка квантования пере­стает быть случайной некоррелированной величиной и начинает по­рождать новые гармонические составляющие и сложные искажения. Этот предел является функцией статистической связи между после­довательно появляющимися ошибками, которая характеризуется ко­эффициентом корреляции К_корр. Для сигналов высокого уровня с ши­роким спектром К = 0,01, а для синусоидальной волны низкого уровня К_юрр= 0,5 [II]. Однако К = 0,5 и для сигналов высокого уров­ня с узкой полосой. Коэффициент корреляции начинает уменьшать­ся только с расширением полосы сигнала, и лишь в этом случае шум квантования начинает приобретать свойства белого [8]. Здесь следу-

ет обратить внимание на то, что ошибка квантования во всех своих проявлениях имеет примерно одинаковую энергию, а ее субъектив­ное восприятие изменяется лишь в силу изменения статистических характеристик самого сигнала.

Дифер — это случайный шумовой сигнал, размах которого в точности равен величине шага квантования и который имеет пря­моугольную функцию плотности вероятности. Складываясь с си­нусоидальным сигналом низкого уровня, он приводит к тому, что результат квантования такого сигнала уже не будет выглядеть как периодическая последовательность прямоугольных импульсов, по­рождающая ряд нечетных гармоник высокого уровня, т.е. разруша­ет корреляциюнную связь между сигналом и шумом квантования. В случае удачного выбора вида дифера шум квантования в боль­шей или меньшей степени приобретает свойства белого шума, что благоприятно сказывается на звучании цифровой фонограммы. Те­оретически можно считать, что хорошо спроектированная 16-раз­рядная система а/ц- и ц/а-преобразования, использующая правиль­но подобранный дифер, способна обеспечить динамический диапазон звукового сигнала в 96 дБ. Качество звучания такой сис­темы даже при наличии некоторых искажений, обусловленных не­совершенством элементной базы, удовлетворит потребности самых взыскательных меломанов. Уровень шума в подобной системе дол­жен быть постоянным, и какие-либо искажения, связанные с его наличием, на слух заметны быть не должны. Однако создание шумоподобного сигнала со строго прямоугольной функцией плотно­сти вероятности и ее размахом, в точности равным величине шага квантования — задача сама по себе непростая и, несмотря на мно­гочисленные исследования и эксперименты в этой области, не все­гда приводит к планируемому разработчиками высокому результа­ту [12-16].

До сих пор мы рассматривали системы аналого-цифрового пре­образования сигналов, использующие линейную шкалу квантова­ния. Такие системы по всем объективным показателям должны в наибольшей степени отвечать условиям максимально достижимой точности преобразования аналоговых величин в соответствующие им цифровые эквиваленты. Тем не менее специфика передачи зву­ковых сигналов, рассматриваемая в данном разделе, позволяет взгля­нуть на процесс аналого-цифрового преобразования, а также на характер и величины связанных с ним погрешностей квантования, несколько с иной точки зрения, которая в других условиях и для других сигналов может оказаться совершенно неприемлемой. В све­те вышесказанного следует обратить самое пристальное внима­ние на системы аналого-цифрового преобразования звука, в кото­рых используется нелинейная зависимость выходного сигнала квантователя s _вых(t) = F (x)от величины квантуемого сигнала s (t)(рис. 1.10). Из рисунка видно, что нелинейность подобного рода систем выражается в том, что на начальном участке характерис­тики квантования, там, где входной сигнал невелик, шаг квантова­ния также выбирается небольшим, но по мере роста уровня вход­ного сигнала он постепенно увеличивается, достигая наибольших значений в области максимального размаха входного воздействия. Такой способ преобразования позволяет получить достаточно вы­сокое отношение сигнал/шум даже при очень слабом входном сигнале. Увеличение же уровня шума квантования на конечном участ­ке характеристики квантования не столь существенно, поскольку этот шум маскируется высоким уровнем самого входного сигнала и делает его незаметным на слух.

Рис. 1.10. Нелинейная характеристика квантования (положи­тельная часть)

Система квантования с характеристикой, подобной представлен­ной на рис. 1.10, является по сути компандером, сжимающим динами­ческий диапазон звукового сигнала перед записью. Соответственно, система воспроизведения должна иметь в своем составе блок экспан­дера с характеристикой, обратной характеристике компандера.

Сложностью в данной ситуации является то, что нелинейную систему с плавной характеристикой очень сложно реализовать фи­зически. Поэтому в реальных системах нелинейного кодирования плавная кривая аппроксимируется линейно-ломаной линией, состо­ящей из нескольких отрезков, в пределах которых шаг квантования постоянен. Такие отрезки называются сегментами квантования. На рис. 1.11 представлена характеристика квантования, где таких сегментов — четыре. При переходе от сегмента с меньшим номе­ром к сегменту с большим номером шаг квантования увеличивает­ся вдвое. Число уровней квантования в пределах каждого сегмента постоянно и равно степени 2.

Рис. 1.11. Нелинейная четырехсегментная характеристика квантования (положительная часть)

На рис 1.11 каждый из сегментов вклю­чает в себя четыре (2²) уровня квантования. Такие соотношения меж­ду размерами шага квантования и количеством уровней квантова­ния предельно облегчают процесс кодирования значений отсчетов. Состоит он в следующем.

Левую позицию в коде выборки занимает символ, характеризу­ющий полярность данного отсчета (0 или 1). Затем кодируется но­мер сегмента, в пределах которого находится мгновенное значение уровня входного сигнала. На рис. 1.11 сегментов всего четыре, т.е. для кодирования их номеров достаточно всего двух разрядов. Эти два разряда размещаются в коде отсчета справа от знакового разря­да (старший разряд слева, младший справа). После этого кодирует­ся номер интервала квантования данного сегмента, в пределах ко­торого находится уровень входного сигнала. На рис. 1.11 каждый сегмент включает в себя четыре интервала квантования, значит для кодирования этих интервалов также достаточно двух разрядов.

Общее число разрядов получается равным пяти, причем структура кода отсчета выглядит следующим образом: первый разряд — зна­ковый, и определяет полярность выборки входного сигнала; два последующих — это номер сегмента и последние два — номер интервала квантования.

В итоге, если считать уровень шума квантования равным ± Q ₁/2, где Q ₁— шаг квантования в пределах первого сегмента, амаксимальный размах входного сигнала пересчитать в количество уровней Q ₁,то ди­намический диапазон пятиразрядного выходного сигнала при данном способе нелинейного кодирования получится равным

или в децибеллах

Если при том же шаге Q ₁квантование было бы линейным пятиразрядным, то

Выигрыш очевиден. Из чего также следует, что другим по­лезным свойством нелинейного квантования, помимо лучшей передачи слабых сигналов, является возможность сокращения количества информации, необходимой для кодирования звуко­вого сигнала с одним и тем же динамическим диапазоном.

Однако кроме очевидных преимуществ, нелинейное квантова­ние имеет и очевидные недостатки. В частности, слабые сигналы (или обертона) на фоне сильных сигналов (на участках характери­стики с широким шагом квантования) могут сильно искажаться или даже пропадать совсем. Поэтому в высококачественных звуковых системах предпочитают использовать все же линейное квантова­ние с высокой разрядностью.

Тем не менее там, где требования к качеству звука не столь кри­тичны, нелинейные системы находили и продолжают находить ши­рокое применение [17-19].

Характеристика нелинейного квантования аналогового сигнала х = s(t) задается с помощью функции F(x), которая может отражать один из двух принятых на практике законов сжатия: μ -закон или А-закон.

Формула для μ -закона имеет вид

(1.23)

где х — входной сигнал; F(x) — выходной сигнал; μ — фиксированный коэффициент, определяющий степень сжатия.

Формула для А-закона задается выражением

(1.24)

и

(1.24)

Степень сжатия зависит от показателей μ и Аи увеличивается с их увеличением. Характеристику нелинейного квантования приня­то обозначать буквой и двумя цифрами. Например, запись А75,2/11 означает, что характеристика квантования аппроксимируется по А-закону при А = 75,2 с помощью 11 сегментов. Запись μ 10/13 означа­ет, что используется характеристика квантования, соответствующая μ -закону сжатия при μ = 10 и состоящая из 13 сегментов [20].

Дата добавления: 2014-01-20