Основные статистические характеристики положения центра ряда

Одинарные ряды результатов измерений и их статистические характеристики

Центр ряда или центральную тенденцию выборки позволяют оценить такие статистические характеристики, как среднее арифметическое значение, мода, медиана.

Среднее арифметическое значение для неупорядоченного ряда измерений вычисляют по формуле:

1 _n

= ¾¾ S x_i

n ⁱ⁼¹

_n

где S x_i = x₁ + x₂ +... + x_n.

ⁱ⁼¹

Например, для данных 4,1; 4,4; 4,5; 4,7; 4,8 вычислим :

4,1 + 4,4 + 4,5 + 4,7 + 4,8

= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 4,5

_n

Символ S x_i обозначает сумму всех значений x_i, когда i принимает

ⁱ⁼¹

значение от 1 до n. S ¾это знак суммирования, внизу и вверху которого указываются пределы суммирования (“от” ¾ “до”), а за знаком S ¾общий член последовательности, подлежащей суммированию; индекс i называется индексом суммирования.

Наиболее просто получаемой мерой центральной тенденции является мода. Мода A это такое значение в множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. В совокупности значений (2, 6, 6, 8, 7, 33, 9, 9, 9, 10) модой является 9, потому что оно встречается чаще любого другого значения. В случае, когда все значения в группе встречаются одинаково часто, считают, что эта группа не имеет моды.

Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и они больше частоты любого другого значения, мода есть среднее этих двух значений.

Если два несмежных значения в группе имеют равные частоты, и они больше частот любого значения, то существуют две моды (10, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 14, 17); в таком случае группа измерений или оценок является бимодальной.

Наибольшей модой в группе называется единственное значение, которое удовлетворяет определению моды. Однако во всей группе может быть несколько меньших мод. Эти меньшие моды представляют собой локальные вершины распределения частот.

Медиана (Md) представляет собой центр ранжированного ряда. Это значение, которое делит упорядоченное множество данных пополам, так что одна половина значений оказывается больше медианы, а другая A меньше.

Если данные содержат четное число различных значений, то медиана есть точка, лежащая посередине между двумя центральными значениями, когда они упорядочены.

Каждая из выше определенных мер центра является наиболее пригодной для использования в определенных условиях.

Мода наиболее просто вычисляется A ее можно определить на глаз. Более того, для очень больших групп данных это достаточно стабильная мера центра распределения.

Медиана занимает промежуточное положение между модой и средним с точки зрения ее вычисления. Эта мера получается особенно легко в случае ранжированных данных.

Среднее множество данных предполагает в основном арифметические операции.

На величину среднего влияют значения всех результатов. Медиана и мода не требуют для определения всех значений. Посмотрим, что произойдет со средним, медианой и модой, когда удвоится максимальное значение в следующем множестве:

Md Мода

Множество 1: 1, 3, 3, 5, 6, 7, 8 33/7 5 3

Множество 2: 1, 3, 3, 5, 6, 7, 16 41/7 5 3

На величину среднего особенно влияют результаты, которые называют “выбросами”, т.е. данные, находящиеся далеко от центра группы оценок.

Вычисление моды, медианы или среднего A чисто техническая процедура. Однако выбор из этих трех мер и их интерпретация зачастую требуют определенного размышления. В процессе выбора следует установить следующее:

· в малых группах мода может быть совершенно нестабильной. Например, мода группы: 1, 1, 1, 3, 5, 7, 7, 8 равна 1; но если одна из единиц превратится в нуль, а другая A в два, то мода будет равна 7;

· на медиану не влияют величины “больших” и “малых” значений. Например, в группе из 50 значений медиана не изменится, если наибольшее значение утроится;

· на величину среднего влияет каждое значение. Если одно какое-нибудь значение меняется на c единиц, x изменится в том же направлении на c/n единиц;

· некоторые множества данных не имеют центральной тенденции, что часто вводит в заблуждение при вычислении только одной меры центральной тенденции. Особенно это справедливо для групп, имеющих более чем одну моду;

· когда считают, что группа данных является выборкой из большой симметричной группы, среднее выборки, вероятно, ближе к центру большой группы, чем медиана и мода.

Дата добавления: 2014-01-20