КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод конечных элементов
В методе конечных элементов стержень разбивается на n элементов.
Рисунок 38. Разбиение на конечные элементы
На рисунке 38: x – глобальная координата; – глобальная нумерация узловых перемещений (1,2,…,n+1 – глобальная нумерация узлов). Рассмотрим k-й конечный элемент (рисунок 35).
Рисунок 39. Отдельный конечный элемент
На рисунке 35: S – локальная координата; – локальная нумерация узловых перемещений (1,2 – локальная нумерация узлов). В пределах каждого конечного элемента функцию перемещения и нагрузки представляем в виде линейных функций:
(2.6.1)
Для определения параметров имеем следующие условия: (2.6.2) Из этих условий получаем (2.6.3) Выражения (2.6.1) с учетом (2.6.3) приобретают вид: (2.6.4) Введем обозначения (2.6.5) и назовем N1 и N2 функциями формы (очевидно, что N1(0)=1, N1(h)=0, N2(0)=0, N2(h)=1), тогда (2.6.4) можно записать в матричной форме (2.6.6) Здесь: матрица-строка функций форм (2.6.7) вектор узловых перемещений и вектор узловых значений нагрузки конечного элемента соответственно (2.6.8) Запишем функционал энергии стержня (w - объем стержня): (2.6.9) Поскольку в соответствии с законом Гука для линейной области , а деформационное соотношение - , то первый интеграл (2.6.9) приобретает вид (площадь сечения –А постоянна): (2.6.10) и функционал запишется так: (2.6.11) Условие минимума или стационарности функционала – равенство нулю его первой вариации: (2.6.12) Для отдельного конечного элемента (2.6.13) поэтому (2.6.14) Раскроем выражения, входящие в (2.6.14) с учетом (2.6.13): (2.6.15) Обозначив для компактности (2.6.16) перепишем (2.6.15) (2.6.17) и внесем в (2.6.14) (2.6.18) Введем обозначения: (2.6.19) - матрица жесткости конечного элемента;
(2.6.20) - матрица преобразования нагрузки. С учетом введенных обозначений (2.6.21) Для всей системы (стержня) после суммирования методом прямой жесткости (2.6.22) где [К] – матрица жесткости стержня; { u } – вектор узловых перемещений стержня. Сокращая на вариацию вектора узловых перемещений и вводя обозначение (2.6.23) приходим к окончательной записи матричного уравнения метода конечных элементов (2.6.24) где – грузовой вектор стержня. Вычислим значения и : (2.6.25)
(2.6.26)
Таким образом, матрица жесткости k –го элемента (2.6.27) и матрица преобразования нагрузки k –го элемента (2.6.28) вектор внешних нагрузок - . (2.6.29) Матричное уравнение метода перемещений в конечноэлементной форме . (2.6.30) Здесь: матрица жесткости всей системы – [ K ], формирующаяся в соответствии с топологией системы; вектор неизвестных узловых перемещений – { U }; грузовой вектор системы - , (2.6.31) содержащий грузовую матрицу системы – [ B ] и вектор внешних нагрузок системы – { Q }. Учитывая число участков (конечных элементов), запишем (2.6.30) с учетом (2.6.31) в раскрытом виде: . (2.6.32) Умножая матрицу преобразования на вектор узловых значений нагрузки, перепишем (2.6.32): . (2.6.33) В методе конечных элементов учитываются только геометрические граничные условия путем обнуления строки и столбца с общим диагональным элементом – множителем при нулевом перемещении (сам диагональный элемент при этом не обнуляется) и соответствующего элемента грузового вектора. Так для варианта граничных условий А система приобретает вид: . (2.6.34) Для варианта граничных условий В - . (2.6.35) Для варианта граничных условий С – . (2.6.36) Решение систем уравнений производится так же, как и в методе конечных разностей. Переход к нормальным усилиям осуществляется с помощью соотношения: . (2.6.37) где - матрица жесткости конечного элемента; - вектор узловых перемещений конечного элемента; - матрица преобразования узловых реакций в продольные узловые усилия.
Рис. 40. Положительные направления узловых реакций (R) и узловых усилий (N) в отдельном конечном элементе Так как направления узловых реакций конечного элемента и положительные направления внутренних сил (рис. 40) не совпадают, то матрица преобразования имеет вид: . (2.6.38) Произведение матрицы преобразования на матрицу жесткости конечного элемента представим в виде матрицы: , (2.6.39) тогда выражение (2.6.37)примет вид: . (2.6.40) Для более точного определения усилий используется дифференцирующая матрица (12). Результаты расчета представляются в виде графиков. Исходные данные вводятся в программу «GAUSS1», результаты счета по которой сравниваются с ручным счетом. Рассмотрим пример решения варианта А. Конечноразностное уравнение запишется так: (2.6.41) После перемножения матрицы преобразования нагрузки на вектор внешних нагрузок оно примет вид: (2.6.42) Учет геометрических граничных условий приведет к следующему соотношению: (2.6.43) Решаем систему способом Крамера. (2.6.44) Определяем значения узловых перемещений, приводя к размерности точного решения (2.6.45) Вектор узловых перемещений, полученный в результате решения системы, имеет вид: (2.6.46) Переход от перемещений к внутренним усилиям в методе конечных элементов осуществляется с помощью матрицы жесткости элемента, то есть (2.6.47) (2.6.48) Осуществляем переход с помощью дифференцирующей матрицы. (2.6.49) Полученные результаты представим в таблице 15 и на графиках (рис. 41, 42). Таблица 15
(…) - точное решение, * - решение в рамках МКЭ, ** - решение с помощью дифференцирующей матрицы.
Рис. 41. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод конечных элементов - вариант А) Рис. 42. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных элементов - вариант А)
Рассмотрим пример решения варианта В. Конечноразностное уравнение запишется так: (2.6.50) После перемножения матрицы преобразования нагрузки на вектор внешних нагрузок оно примет вид:
(2.6.51) Учтем граничные условия на левом торце(u1=0) (2.6.52) Выполним прямой ход исключения по Гауссу, идя снизу: (2.6.53) Выполним обратный ход, приводя результат к размерности точного решения (2.6.54) Вектор узловых перемещений, полученный в результате решения системы, имеет вид: (2.6.55) Переход от перемещений к внутренним усилиям в методе конечных элементов осуществляется с помощью матрицы жесткости элемента, то есть (2.6.56) (2.6.57) Осуществляем переход с помощью дифференцирующей матрицы. (2.6.58) Полученные результаты представим в таблице 16 и на графиках (рис. 43, 44). Таблица 16
(…) - точное решение, * - решение в рамках МКЭ, ** - решение с помощью дифференцирующей матрицы. Рис 43. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод конечных элементов - вариант В) Рис. 44. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных элементов - вариант В)
Рассмотрим пример решения варианта C. Конечноразностное уравнение запишется так: (2.6.59) После перемножения матрицы преобразования нагрузки на вектор внешних нагрузок оно примет вид: (2.6.60) Учтем граничные условия (u5=0) (2.6.61) Выполним прямой ход исключения по Гауссу, идя сверху: (2.6.62) Выполним обратный ход, приводя результат к размерности точного решения (2.6.63) Вектор узловых перемещений, полученный в результате решения системы, имеет вид: (2.6.64) Переход от перемещений к внутренним усилиям в методе конечных элементов осуществляется с помощью матрицы жесткости элемента, то есть (2.6.65)
(2.6.66) Осуществляем переход с помощью дифференцирующей матрицы. (2.6.66) Полученные результаты представим в таблице 17 и на графиках (рис. 45, 46).
Таблица 17
(…) - точное решение, * - решение в рамках МКЭ, ** - решение с помощью дифференцирующей матрицы.
Рис 45. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод конечных элементов - вариант C)
Рис. 46. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных элементов - вариант C) В силу универсальности алгоритма в настоящее время предпочтение отдается именно методу конечных элементов.
Рекомендуемая литература Основная литература
2. Неймарк Ю. И. Математические модели в естествознании и технике. Нижний Новгород: издание Нижегородского Университета, 2004. 3. Т. Шуп. Решение инженерных задач на ЭВМ. Перевод с английского. - М.: Мир, 1982. 4. Дж. Ортега, У. Пул. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 5. В.В. Фаронов. Основы Турбо-Паскаля (в 3-х книгах). М.: МВТУ-ФЕСТО-ДИДАКТИК, 1992. 6. Р. Хершель. Турбо-Паскаль 4.0/5.0. М.: Издание МП «МИК», 1991. 7. И.А. Бабушкина, Н.А. Бушмелева, С.М. Окулов, С.Ю. Черных. Конспекты занятий по информатике (практикум по Турбо-Паскалю). Учебное пособие. К.: ВятГПУ, 1997.
Методическая литература 8. Буравлев В. Ф. Математическое моделирование в строительстве (методические указания для выполнения лабораторных работ с вариантами заданий и образцом выполнения, электронный вариант). К.: ВятГУ, 2005.
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 1055; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |